绩效型变动保费方案设计 [page::4][page::5][page::6]

• 方案基于期望值保费原则建立基准保费，再依照实际实现损失调整保费，形成“奖励-惩罚”机制。

- 设计参数包括基准风险加载率θ₀、上下限风险加载率θ₁、θ₂及变动率δ，限定保费上下限及调节强度。

• 该方案兼具保费的法则不变性、风险加载、无受骗性和同阶递增性，确保了赔付函数的单调性和“无破坏”条件，缓解道德风险。

保险人最优再保险策略研究 [page::9][page::11][page::13]

• 设保险人风险度量符合法律不变性及凸序保序性，则最优赔付函数属于有限参数的三层赔付函数集合。

- 进一步假设采用扭曲风险度量（包含VaR和TVaR），最优解可简化至特定两层赔付函数集。

• 对TVaR指标下，最优赔付呈现为停损型或两层结构，具体阈值通过参数条件和隐式方程确定，适用指数及帕累托损失分布的数值例子验证。

博莱最优（Bowley-Optimal）再保险问题探索 [page::20][page::21][page::22]

• 博莱优化模型中，再保险人先选择变动率δ，保险人随后基于该δ优化赔付函数。

- 保险人风险使用TVaR，示例中损失分布涵盖重尾帕累托和轻尾指数分布。

• 随着δ增加，保险人倾向保留更多风险（减少转移），导致保险人风险函数提升，但再保险人风险却下降，表明变动保费方案有利于再保险人风险管理。

- 最优δ存在时能显著降低再保险人风险，且δ随再保险人风险厌恶程度变化动态调整，风险厌恶增高时偏好较大δ*，风险中性则退化为传统常数保费方案。

数值分析与案例展示 [page::18][page::19][page::24][page::25]

• 使用指数分布与帕累托分布的损失示例，给出最优赔付函数形态及风险度量值随参数变化的趋势图。

- 最优赔付中，赔付阈值d随分布参数及预期赔付额线性变化，保险人转移比例稳定。

• 与现有文献中的回溯评级方案比较，本方案下保险人倾向于购买更多再保险。

- 多图表验证变动保费对风险控制及定价策略的积极影响。

资深金融分析师视角下的详尽解析报告

《基于表现的可变保费方案与再保险设计》
作者：Ziyue Shi, David Landriault, Fangda Liu
发布日期：2025年7月8日

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1. 元数据与概览

本篇学术文章聚焦于再保险定价领域，特别是提出了一种基于表现的可变保费方案（reward-and-penalty variable premium scheme），全新地将保费设计引入了随机性，且与实际发生的赔付损失挂钩。文章不仅从保险人的视角刻画了最优再保险策略，还设计了保险人与垄断再保险人间的Bowley优化问题。相比传统的期望值保费原则（expected-value premium principle），该方案有望帮助再保险人减少整体风险敞口。文章在此领域结合了经典理论及现代最优化框架，具备理论创新和实践指导双重价值。

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2. 逐章节解读

2.1 引言与背景（Section 1）

文章指出，再保险风险同时由保留损失和支付保费构成，两者存在权衡关系，导致最优再保险设计成为研究热点。文献中各种保费原则，如Borch线性原则、均值-方差原则、Choquet定价原则等，均基于对风险偏好的度量确定固定保费。然而，现实中某些保险定价方法（如回溯费率，retrospective rating）则会根据实际损失调整保费，体现损失表现的动态性和保费的随机性，这种复杂特征导致理论研究较少且挑战较大。此文旨在将该思想引入再保险设计。[page::0,1]

2.2 新的“表现-基准”可变保费方案（Section 2）

基于回溯费率，提出一个可变保费方案。具体如下：

• 初始以期望保费基准（benchmark premium）确立保费水平

- 随实际赔款金额调整保费，赔款小于期望赔款时享有折扣（reward），反之则加罚（penalty）

• 设定参数 δ 控制折扣/罚金额大小

- 设定上下保费边界，防止保费过低或过高

方案数学表达为：

$$
\piY(y) = \min\{\max\{ (1+\theta0)E[Y] + \delta(y - E[Y]), (1+\theta1)E[Y]\}, (1+\theta2)E[Y]\}
$$

其中，\( \theta0, \theta1, \theta2 \)为风险加载参数，满足 \( \theta1 \leq \theta0 < \theta2 \)，δ控制偏离期望值的增减率。此保费基于损失分布和实际损失，共同决定保费随机性，区别于传统固定保费。[page::2,4,5]

2.3 套用风险计量的保费方案性质及定义

该可变保费方案具备如下性质（Proposition 2.1）：

• 法律不变性（law-invariance）：分布相同的损失保费也相同

- 风险加载性质：保费均不低于期望损失

• “无剥夺”（no rip-off）：保费不超过损失的本质上确界

- 正齐性：缩放损失导致保费同比例缩放

• 保持一阶随机支配顺序点击，即高风险损失对应高保费

- 保费和损失差均连续单调，且与标的损失同调，防止激励错误

上述性质为经典风险测度的期望特性，在随机保费环境下有效保持其合理性。[page::6,7,8]

2.4 保险人最优再保险策略设计（Section 3）

核心优化目标为：

\[
\min{I \in \mathcal{Z}} \rho(TI(X)) = \min{I \in \mathcal{Z}} \rho\left( X - I(X) + \Pi{I}(X) \right)
\]

其中，\(I\)为补偿函数，\(\rho\)为保险人的风险度量，\( \PiI \)为基于所选赔付的可变保费。核心挑战在于增加了基于实际赔偿的可变保费随机性。

3.4.1 风险测度的基本假设

若风险度量满足：

• 法律不变

- 保持凸序（convex order），即风险度量尊重风险“排序”

则该无限维优化可约化为有限维参数优化，补偿函数可结构化为分段形式（两层或三层赔付结构），极大降低求解复杂度。[page::9,10,11]

3.4.2 离散风险测度——失真风险测度情形

重点考虑失真风险测度族，涵盖VaR、TVaR等。特别是TVaR作为凸序保持且连贯风险测度，满足上述条件。作者证明在该条件下，最优赔付策略缩减到特定类型的两层赔付结构中，即满足形式：

\[
I^(x) = (x - d1)+ - (x - d1 - dI)+ + (x - d2)+
\]

且依赖于变量保费的风险加载和调节参数。

利用隐函数定理、求导分析及凸性证明，判定优化问题中关键参数满足单峰性质，可通过数值方法精准求解。[page::11-15]

3.4.3 具体案例及闭式解

文中以指数分布为例，展示了最优参数的计算方法和数值结果。图像中最优赔付曲线以两层或止损形式呈现，且赔付阈值与损失均值及保费参数线性相关。进一步的，TVaR下的内层最优化问题可归结为一维数值搜索，便于实操。[page::16-19]

文中还与Chen等(2016)的回溯费率模型作对比，表明此新模型中保险人倾向于采购更多再保险，特别在变量保费引入更大风险调整时尤为明显。[page::19]

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3. 图表深度解读

图1（第10页）

• 描述：展示了两类赔付函数结构示意图，(a)为\(\mathcal{T}1\)中典型函数，(b)为\(\mathcal{T}2\)中的典型形式。

- 解读：均表现为含有两层止损的赔付设计，且这些设计均服从定义中赔付函数的单调性与受限制条件，说明理论上最优赔付函数可简化为有限维参数形式。

• 联系文本：该图辅助理解最优解空间的有限维约束，助力算法设计。[page::10]

图2（第18页）

• 描述：在指数分布损失、\(\delta=1\)参数下，最优赔付函数随期望赔付大小变化的示意图，灰色区域标识保险人转移给再保险人的赔付额。

- 解读：显示当预期转移赔付越大时，赔付起点和截止点呈递减趋势，并且可能简化为纯止损形式，体现了赔付层次和风险偏好参数的互动。

• 联系文本：图表体现了理论中参数调节对赔付结构的直观影响，验证算法和理论有效性。[page::18]

图3（第19页）

• 描述：(a)赔付函数关键参数随均值μ变化线性增长；(b)最佳期望转移赔付与μ呈线性正比关系。

- 解读：保险人转移赔付规模与损失均值正相关，提示赔付设计对风险预期的高度灵敏，且参数调节稳定。

• 联系文本：支持上一理论分析，强调优化价值在实际损失规模调整中的可操作性。[page::19]

图4 to 图11（第23至28页）

• 这组图广泛展示了不同分布（Pareto、Exponential）及风险测度（TVaR、Power Distortion）下，变量参数δ及赔付策略受保险人与再保险人风险偏好的影响。

- 重点信息包括：
- δ的变化会导致保险人赔付策略从止损到多层转变
- 保险人风险度量参数增加通常使保险人偏向承担更多风险
- 再保险人的风险态度影响其对变量保费参数δ的最优选择
- 变量保费方案通常能减少再保险人风险敞口，体现为δ的非零最优值

• 此外，不同损失尾部特征（轻尾指数 vs 重尾帕累托）带来的最优参数差异清晰可见，重尾分布更适合采用较高变量保费强度。

- 联系文本：图表验证了模型核心结论及Bowley均衡存在性，展示了该变量保费设计在实际再保险定价中潜在的优势机制。[page::23-28]

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4. 估值分析与优化模型解析

作者利用风险度量与优化理论研究了保险人在变量保费方案中的最优赔付设计，采用了凸序一致风险测度（convex order preserving risk measures），尤其关注失真风险测度族。其变换为有限参数的多层止损形式，为实际求解提供可行路径。

Bowley优化模型进一步结合保险人和再保险人双方风险偏好，建立了价格设定者（再保险人）与买方（保险人）间的两阶段优化机制。在该框架下：

• 再保险人先定价参数δ

- 保险人基于δ寻优赔付函数

• 再保险人根据保险人的响应调整δ以最小化其风险敞口

该交互模型充分考虑了双方利益冲突，实现了双方风险态度的动态调节。数值方法主要依赖于TVaR等失真风险测度下，逐层确定最优阈值的技术手段，配合隐函数求导和凸性性质完成最优设计。

此估值与优化框架不仅具备理论完备性，还适合于数值计算，能帮助市场参与方制定更合理的风险转移合同。

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5. 风险因素评估及模型限制

风险因素

• 额外随机性增加：变量保费本质上引入了额外的随机性，可能加剧保险人对风险的管理难度。

- 模型参数依赖性：结果较强依赖\(\delta\)和风险加载参数\(\theta_i\)的设定，参数选择不合理导致合同激励失效。

• 假设完整信息：模型假设保险人和再保险人对损失分布均知晓，实际中信息不对称可能影响合同设计。

- 风险量测的选择：失真风险测度尤其是TVaR的应用，虽然广泛认可，但仅为风险量测的其中一种，可能不适配所有场景。

缓解方案与讨论

• 通过Bowley最优性的框架，双方权益得以平衡，提高模型实际可操作性。

- 参数的经济含义清晰、稳定，可辅助再保险人调节合同风险回报结构。

• 模型框架适合未来扩展，添加更广泛的函数族和更复杂风险依赖。

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6. 批判性视角与细微差别

• 本文创新地将表现驱动的保费机制引入理论模型，大幅提升再保险定价的现实拟合度。

- 但在对实际随机性管理的复杂度讨论较少，未能充分描述变量保费带来的操作风险。

• 保险人最优策略仍然限定为特定结构赔付，实际市场多元需求可能更复杂。

- Bowley均衡求解依赖数值方法，未展现充分的解析解，限制理论推广应用范围。

• 对于参数敏感性、市场实践适配性未给予深入阐述，未来研究方向明确。

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7. 结论性综合

本文提出了一种兼顾基于表现保费和损失分布的“奖励-惩罚”变量保费方案，拓展了再保险定价与设计的经典理论。通过建立完善的风险测度基础和Bowley最优机制，理论证明了该方案能减少再保险人风险敞口，同时激励保险人合理选择赔付策略。

关键见解包括：

• 变量保费方案通过引入关于实际赔款的随机保费，有效激励保险人管理风险，并从再保险人角度减少风险暴露。

- 保险人最优赔付设计受风险测度（尤其是失真风险测度）限制，可归纳为两层或三层止损结构，降低复杂度。

• 数值分析表明变量保费方案对不同损失分布（指数/帕累托）均适用，且再保险人在非风险中性情形下倾向于采用该方案获得风险优化。

- Bowley最优解揭示双方利益最佳平衡点，支持变量保费方案在实务中的推广。

本文全篇大量数学推导、严谨定理证明和丰富数值模拟，辅以关键图形展示，系统呈现了新型变量保费方案的理论基础与实践潜力。

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附录示例 — 图表引用示范

• 图1：两种赔付函数形式示意图，辅助阐释有限参数空间构造

• 图2：指数损失下最优变量赔付函数随赔付期望变化的曲线

• 图4至图11：详细展示了变量保费与损失分布、风险测度参数对Bowley均衡和最优赔付的影响

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总结

本文从理论创新和应用角度精准回应了再保险定价中引入实际损失表现保费的需求，建立了兼具经济激励与风险管理效能的变量保费方案。通过一系列严谨推理和详尽数值模拟，验证了方案的优越性和实际可行性。该研究对于学术界深化保险定价理论、业界设计更有效的风险转移合同均具重要参考价值。[page::0-28]

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