研究背景与问题陈述 [page::0][page::1][page::2]

• 传统风险分摊理论通常假设风险厌恶代理或风险追求代理单一。混合风险态度（风险规避和风险寻求共存）情形较少研究，存在理论难点和非凸偏好带来的最优解不存在风险。

- 本文建模使用了扭曲风险度量作为偏好表述，利用概率扭曲函数刻画风险厌恶（凸函数）与风险寻求（凹函数）。

• 关键问题：异质风险态度下Pareto最优分配如何形成？是否存在？其结构如何？

多主体问题简化为两主体模型 [page::6][page::7][page::8]

• 定理1证明，$n$个代理中，风险厌恶代理共用代表扭曲函数$g1$ (凹)，风险追求代理共用代表扭曲函数$g2$ (凸)，最优分配可归约为两个代表代理之间的分配问题。

- 同一态度群体内部风险分配呈完全共动（风险厌恶）或完全反动（风险寻求）结构。

• 归约减少了问题复杂度，突出跨两大类风险态度群体之间的风险交换[page::6][page::8]。

最优分配存在性判据及无约束风险分配特性 [page::9][page::10][page::11]

• 定理2给出多种等价条件，明确存在最优分配的充要条件为：风险厌恶的扭曲函数主导风险追求代理的对偶扭曲函数，即$h1 \geq \widetilde{h}2$。

- 若条件不满足，则风险寻求代理可无限放大赌注使问题无解，导致inf-convolution值趋向负无穷。

• 进一步分析了两风险厌恶代理和两风险寻求代理的极端情况以及Value at Risk (VaR) 的例子，阐明极端情况下的无界情况[page::9][page::11]。

两主体问题细化结构与最优分配形式 [page::13][page::14][page::21]

• 定理3表明若$h1 \wedge h2$为凹，则infimal convolution简化为$\rho{h1 \wedge h2}$。

- 在一方风险追求且满足存在条件下，风险追求方吸纳全部风险，风险规避方持有无风险部分，即最优分配为$(0, X)$。

• 非凹子函数时无此简化，存在分配策略使infimal convolution严格小于$\rho{h1 \wedge h2}$值。

- 示例说明，当风险寻求优势时，完全共动配置非最优，最优分配呈现反动结构，风险追求者承担更多风险[page::13][page::14][page::21]。

非负约束下风险分配与优化边界（经济直觉中普遍设定） [page::15][page::16][page::20][page::22]

• 非负配置约束确保最优解存在，符合无纯损失获利假设，具有实际经济意义。

- 引入假设COIN确保最优的分配函数单调，便于构造最优分配方案。

• 定理4证明受约束的infimal convolution被无约束基准infimal convolution上界包围。

- 特殊扭曲函数组（如线性分段扭曲函数）下，存在显式最优分配构造与解析表达，举例展示具体分配区间划分函数（例6）。

• 主题风险分割权重对应风险厌恶与风险寻求代表函数的整合，优化结构对应代表函数的拼接[page::15][page::16][page::20]。

典型风险下的最优分配及分割概率分析 [page::22][page::24]

• 定理5对伯努利型风险给出闭式infimal convolution值及最优分配条件，最优分配通过划分概率空间实现。

- 例8分析了风险分割依赖整体风险概率大小的变化规律，较小概率区间由风险寻求者独自承担，高概率区间风险厌恶者开始介入分担风险。

• 二元风险外推结果表明分割优化的可达性条件与概率空间的原子性紧密相关。

- Proposition 4扩展至多个不相交指标风险的组合，仍能构造满足infimal convolution价值的分配[page::22][page::24]。

多主体混合风险态度经济的汇总与具体条件 [page::30][page::31]

• 多主体混合风险问题通过代表扭曲函数简化。如风险厌恶群体的最弱态度$g1$主导某风险追求代理对偶函数，最优解退化为风险追求者承担所有风险。

- 提供了具体的扭曲函数参数界限条件，区分风险厌恶主导与风险寻求主导两种模式及对应最优风险分配形式，展示了合力效应下的风险共动及跨群体对赌结构。

• 说明风险寻求优势将打破风险厌恶群体内部共动结构，导致两类群体间的倒转配置[page::30][page::31]。

总结与贡献 [page::32]

• 首次系统研究具有异质风险态度（风险厌恶与风险寻求）的经济中的风险分摊问题，构建两代理代表模型，大幅简化多代理问题。

- 明确给出风险厌恶主导的存在性条件，实现显式的infimal convolution及最优分配构造。

• 负向配置约束确保存储问题合理，给出非负约束下的数值边界与策略构造方法。

- 拓展理论涵盖风险偏好具有凹凸性、非凸性及混合态度的通用扭曲风险度量框架，兼顾理论普适性与实际经济合理性，多角度解剖复杂风险分配机制。

• 本研论文对金融风险管理、保险分摊及行为经济学中混合风险态度代理模型均具重要参考价值。

详细案例：风险偏好权重影响最优风险分割 [page::24]

• 当总风险概率$\mathbb{P}(A)$较小时，风险寻求者独自承担风险。

- 超过阀值$p0$后，风险厌恶者开始分担风险，其分担份额随风险概率增大而增加，风险寻求者的份额相应递减。

• 该分割策略基于扭曲函数的优化分割，满足Pareto最优条件[page::24]。

不同风险态度组合的infimal convolution分解 [page::18]

• 设风险厌恶者扭曲函数$g1$，风险追求者扭曲函数$g2$。

- 在支持函数单调选择假设下，infimal convolution存在明显的上下界且可通过构造分割函数实现最优。

• VaR代理与一般扭曲代理的infimal convolution有明确的参数化表达与分割分布[page::18]。

深度分析报告：《Optimal Allocations with Distortion Risk Measures and Mixed Risk Attitudes》

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1. 元数据与概览

• 报告标题: Optimal Allocations with Distortion Risk Measures and Mixed Risk Attitudes

- 作者: Mario Ghossoub, Qinghua Ren, Ruodu Wang

• 发布日期: 2025年10月22日

- 研究主题: 探讨具有风险态度异质性的经济体中基于失真风险测度的帕累托最优风险分配问题，特别关注风险厌恶与风险偏好（风险寻求）混合情形的最优风险共享结构。

核心论点与贡献

• 本文研究风险分担中存在异质风险态度的情况，其中个体风险偏好由失真风险测度（distortion risk measures）描述。

- 证明：相似风险态度的代理人最优分配呈现共单调（风险厌恶者）或反单调（风险寻求者）的结构。

• 将多代理人问题归约至由两个代表性代理人（风险厌恶与风险寻求）构成的两方问题，借助失真风险测度的下极卷积（infimal convolution）刻画。

- 给出最优分配存在性的必要充分条件，并结合非负分配约束案例，针对分段线性失真函数和伯努利型风险提供了显式优化结构。

• 总体观点验证了“风险厌恶与风险寻求相对强度决定最优分配结构”的自然直觉[page::0][page::1][page::2].

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（Section 1）

• 内容要点：

- 经典风险分担中，风险厌恶者最优分配为共单调结构（Landsberger & Meilijson 1994），风险寻求者则产生反单调的赌博行为（Lauzier et al. 2023, 2025）。
- 但现实经济多含混合风险态度的参与者，风险共享理论尚未成熟。
- 文献综述涵盖了风险厌恶者、风险寻求者和基于分位数的风险测度研究。
- 存在非凸性导致最优解不存在的技术挑战，特别是在混合风险态度市场。
- 本文侧重通过下极卷积为混合风险偏好提供定量结构，超过以往的定性分析[page::1].

• 推理依据：

- 风险偏好通过失真函数的凸凹性对应，联结不同代理人的组合风险共享问题。
- 传统方法无法直接解决风险厌恶与风险寻求混合的非凸性问题，需新技术切入。

2.2 问题建模（Section 2）

• 内容要点：

- 设置一个无集原子概率空间、定义总风险$X$和多代理人分配集合$\mathbb An(X)$。
- 规定失真风险测度$\rhoh$定义，失真函数$h$规范且风险厌恶对应$h$的凹性，风险寻求对应凸性。
- 定义帕累托最优分配与最优分配（inf-convolution的极小分配）。
- 重要性质：风险测度的凸共轭和失真风险测度的对偶函数关系（$ \rhoh(-X) = -\rho{\tilde{h}}(X) $）揭示风险分担问题等价于效用最大化问题。
- 引入失真函数的下极卷积定义，作为风险测度inf-convolution的函数层面对应[page::2][page::3][page::4][page::5].

• 关键数据与概念：

- 失真风险测度核心定义公式：
\[
\rho{h}(X) = \int0^{\infty} h(\mathbb{P}(X > x)) \, dx + \int{-\infty}^0 [h(\mathbb{P}(X > x)) - h(1)] \, dx
\]
- 卷积操作的运用，提供了多agent风险测度inf-convolution的框架。

• 逻辑说明：

- 通过inf-convolution寻找风险最优拆分，将整体问题转为函数下极卷积的问题分析。

2.3 多对两代理人问题归约（Section 3）

• 核心论点：

- 通过定义两个代表失真函数:
- 风险厌恶组的下极并 $g1 = \bigwedge{i=1}^m hi$
- 风险寻求组的下极卷积 $g2 = \bigsqcup{j=m+1}^n hj$
- 证明多代理人风险共享问题能被归约为两代理人风险测度的inf-convolution问题$\rho{g1}\square\rho{g2}$。
- 同组风险厌恶者最优共单调分配，风险寻求者反单调分配；跨组之间的风险分配问题即两代理人间风险共享。
- 依赖无关随机变量存在性作为技术假设（$X\in \mathcal{X}^\perp$）。

• 技术点：

- 下极并和下极卷积分别捕捉保守与冒险行为的综合表现（concave与convex）。
- 该归约极大简化问题结构，为后续两代理人分析奠定基础[page::6][page::7][page::8].

2.4 两代理人风险共享与存在性（Section 4）

• 现象示例：

- 举例极端风险追求者导致无界下界，最优解不存在。

• 主要理论（Theorem 2）：

- 提供两代理人问题存在性的必要充分条件，核心是失真函数满足$h1 \sqcup h2 (1) = 1$，等价于 $h1 \geq \widetilde{h}2$。
- 该条件防止“赌博”代理人无限放大风险从而使整体风险评价趋向$-\infty$，即排除无效赌注。

• 典型案例：

- 两风险厌恶者满足条件，存在解。
- 两风险寻求者则通常失败（无界风险最小值）。
- Value-at-Risk的卷积与其阈值和相关。

• 对偶函数镜像情形：

- 当代理人失真函数相对偶时，inf-convolution简化为单一失真风险测度，存在性保证强。

• 目标价与约束：

- 讨论了参数时的凸性与保守性对inf-convolution的影响。
- 反映了风险态度对可行解结构的决定性作用[page::8][page::9][page::10][page::11][page::12].

2.5 两代理人混合风险偏好分析（Section 4.2）

• 结果（Theorem 3）：

- 当$h1 \wedge h2$为凹函数，inf-convolution为$\rho{h1 \sqcup h2} = \rho{h1 \wedge h2}$，且满足风险厌恶者强时，最优分配即由风险寻求者承担全部风险。
- 当风险寻求者占优且条件不成立时，最优分配不同，风险厌恶者不会承担零风险。

• 反例：

- 子加性但非凹函数失真下，等式不成立，说明前述性质依赖凸性/凹性。

• 经济意义：

- 风险厌恶力量强时，风险寻求者“承接”风险，表现为分配的“清晰分界”[page::13][page::14][page::15].

2.6 非负分配约束下的优化（Section 5）

• 问题背景：

- 无约束时风险寻求导致问题无解。
- 经济学中合理假设为非负分配，拒绝从纯损失盈利。

• 重要假设 (Assumption COIN)：

- 分配函数为递增函数，确保尾部切分的单调性，为实现显式分配构造铺垫。

• 关键结果 (Theorem 4 等)：

- 受限inf-convolution被无约束版本的inf-convolution上下界夹住。
- 如果满足Assumption COIN，则可以构建逼近序列，分段逼近最优值。

• 实例说明：

- 特定分段线性函数（例6）满足COIN，图示分割函数单调。

• 两代理人间有界风险分配公式与构造（Proposition 2）：

- 给予分段线性失真，提供明确的最优配置分配，即按尾部基于随机变量$UX$指标函数进行切分。

• 风险厌恶与风险寻求共存下非共单调分配优势（Proposition 3）：

- 当风险寻求主导时，共单调分配不再最优，反单调分配更优。

• 伯努利型风险的精确解（Theorem 5）：

- 对两代理人共享伯努利型风险，inf-convolution和最优分配明确表达，且不依赖凸凹假设。

• 复杂风险的部分推广（Proposition 4）：

- 当风险为离散指标风险的线性组合时，也存在精确最优配分[page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21][page::22][page::23][page::24].

2.7 多代理人风险共享综合（Section 6）

• 多代理人混合风险态度整合：

- 在满足条件时，可将问题化简为代表风险厌恶和风险寻求的两个集合的inf-convolution。

• 规模效应：

- 如果风险厌恶最弱者比风险寻求强者还谨慎，风险由风险寻求组独自承担。
- 反之，则发生复杂的竞赛行为，风险厌恶组内部共单调，整体与风险寻求组反单调。

• 特定结构失真函数分析（Proposition 7）：

- 对分段线性失真函数群体提供具体inf-convolution形式和分配特点。

• 经济解读：

- 当风险厌恶主导，风险寻求组“承接”全部风险。
- 当风险寻求占优，出现赌博式的跨组分配布局[page::30][page::31].

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3. 图表深度解读

图表1 (图片页码18)

描述：图1左图展示两个失真函数$g1$和$g2$及其下极卷积$g1 \sqcup g2$的图形；右图显示实现下极卷积的最优分割函数$f$及$ x - f(x) $的单调性。

解读：

• $g1$为凸函数，$g2$为凹函数，凸凹交织展现了风险厌恶与风险寻求的混合特征。

- 下极卷积$g1 \sqcup g2$（虚线）严格位于$g1$和$g2$之下，体现最佳风险切分的风险价值。

• 优化分割函数$f$及残差单调递增，满足Assumption COIN，确保了理论中分配构造的可行性和简洁性。

联系文本：

• 图示验证了Theorem 4关于非负分配场景中分割函数单调的假设，为下极卷积的分析提供视觉直觉支撑。

图表2 (图片页码23)

描述：图2展示了power函数失真下的$h1$, $h2$，及其下极卷积$h1 \sqcup h2$的曲线。

解读：

• $h1$（风险厌恶）曲线红色明显凹形，$h2$（风险寻求）橙色凸形。

- 下极卷积曲线蓝色线位于两者之下，非完全等于$h2$，反映了两种风险偏好合并所形成的风险价值最低界。

• 蓝色线和$h2$相差显著，表明反单调分配更优于共单调约束。

联系文本：

• 图示支撑Example 7，说明了风险寻求者主导时，共单调分配非最优事实。

图表3 (图片页码24)

描述：图3为Example 8中，当参数$\alpha=2,\beta=3$时，风险分配中风险厌恶代理风险份额$\mathbb{P}(B)$与风险寻求代理风险份额随总风险概率$\mathbb{P}(A)$变化关系。

解读：

• 低概率时风险寻求者独自承担全部风险（$\mathbb{P}(B)$接近0)。

- 随概率增加，风险厌恶者开始承担风险份额，表现为$\mathbb{P}(B)$上升，风险寻求份额相应下降。

• 体现风险态度力量的叠加效应及风险分配动态变化。

联系文本：

• 直观展示了风险分配中的“强度主导”原则，具体对应Example 8的理论与结论。

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4. 估值分析

• 文章中估值分析核心为失真风险测度的infimal convolution（下极卷积）。

- 关键假设包含失真函数的凹凸性、风险变量的空间选取（$L^{\infty}$无约束或$L^{+}$非负约束）。

• 在两个代理人模型下，inf-convolution的存在与形式取决于失真函数的比较关系：

- 若$h1 \geq \widetilde{h2}$，则存在有限且可达inf-convolution，形式上往往等同于$\rho{h1 \sqcup h2}$。
- 若不满足，则inf-convolution趋向负无穷（赌博式无界）。

• 文章通过数学证明与例子，详细描绘了失真函数的不同组合对估值的影响，并给出特殊损失分布（如伯努利型）的闭式表达。

- 非负约束下，通过引入Assumption COIN，构造了逼近inf-convolution值的逐渐精细的分配方案，展示估值的可实现路径。

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5. 风险因素评估

报告中主要风险因素包括：

• 非凸性偏好风险：混合风险态度导致失真函数不均为凸或凹，可能使稳定的帕累托最优或均衡不存在。

- 无约束下赌博行为：风险倾向强烈的代理人可能无限放大风险承担，导致inf-convolution无界（趋于$-\infty$）。

• 概率空间限制风险：在非原子空间中，部分理想分配无法实现，影响最优分配存在性及构造（见Example 9）。

- 失真函数同质性缺失风险：多代理人分段线性函数参数不匹配时，导致整体分配非平滑甚至不存在。

缓解手段：

• 通过约束分配空间（$L^{+}$非负约束）保证存在性。

- 利用下极卷积函数的单调选择器（Assumption COIN）实现分配构造。

• 细化模型参数，聚焦代表性两代理人，实现问题归约简化。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告合理且严谨，但以下细节值得注意：

- 归约假设依赖$\mathcal{X}^\perp$：问题归约需存在与风险无关的均匀随机变量，现实概率空间具备该性质为理想化假设。
- 论证多基于规范失真函数：极端或非常规失真函数未展开，可能对结果通用性存在限制。
- 风险寻求无限放赌行为假设：理论中风险寻求极端表现可能导致无解，但实际风险寻求者行为可能存在行为经济修正。
- 非凹或非凸失真函数存在的例子有限，大多数显式构造基于分段线性，欠缺更广泛函数族的系统分析。
- 多代理人结果除归约外依赖特定参数区间，若参数偏离，结果有效性有待进一步考察。
- 假设COIN的泛化程度：虽然COIN条件满足时构造可行，但对更复杂失真函数的适用范围尚不完全清晰。

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7. 结论性综合

本文系统研究了含混合风险态度（风险厌恶与风险寻求）的多代理人风险共享问题，模型基于失真风险测度体系。核心贡献包括：

• 构建从$n$代理人到2个代表代理人的归约框架（Theorem 1），大幅简化多代理人复杂度，分别归纳风险厌恶与风险寻求各自的优化结构（共单调与反单调）。

- 通过失真风险测度的infimal convolution，揭示了风险厌恶强度相对于风险寻求的主导性条件（$h1 \geq \widetilde{h}2$）对最优解存在性的决定作用（Theorem 2）。

• 详细分析两代理人模型，给出明确的最优分配结构：

- 风险厌恶者若主导，则风险寻求者独占待分风险；
- 否则，不存在纯共单调最优配置（Theorem 3、Proposition 3、Example 7）。

• 考虑非负分配限制，实用且经济合理，开发出约束下inf-convolution的上下界及构造法则（Assumption COIN与Theorem 4）。

- 针对特殊离散风险（伯努利型）和分段线性失真函数，提供闭式法则和明确最优分配方案（Theorem 5、Proposition 2、Proposition 4）。

• 回归多代理人框架，利用前述结果，解析多agent混合群体的分配特征及结构（Proposition 6、7）。

- 图示具体展现失真函数形状与分配策略的逻辑联系，如图1（失真函数分割），图2（风险厌恶/寻求函数形态），以及图3（风险分配随概率变化）。

• 全文贯穿风险态度的相对“力量”决定最终风险分担格局的主题，验证了该经济学直觉在复杂失真测度框架中的数学表现。

综上，本文在理论上填补了混合风险偏好下风险共享研究的空白，提供了深入的数学构建和实用分析工具，具有重要的学术价值和潜在的实际应用指导意义[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26][page::27][page::28][page::29][page::30][page::31].

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附图

图1：(a) $g1,g2$及其下极卷积；(b) 合理的单调分割函数示意。



图2：风险厌恶$h1$、风险寻求$h_2$及其inf-convolution对比，表现非共单调最优性。



图3：风险分配概率随总风险概率变化曲线，体现风险态度主导的动态影像。

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总结：本报告全面剖析了以失真风险测度为基础，涵盖混合风险态度下多主体风险共享问题的理论构造、存在性条件、最优分配结构、具体案例与约束情形，辅以丰富的图表诠释了复杂风险与风险偏好影响下的优化机制，具有极高的研究价值和应用潜能。

报告