高频交易限价单优化问题模型设定 [page::0][page::1][page::3]

• 市场价格遵循Bachelier模型，mid-price由Wiener过程驱动。

- 交易者通过调整买卖限价单距离mid-price的间距（δ^a、δ^b）影响成交率，成交由服从强度为λ(δ)=Ae^{-κδ}的独立Poisson过程驱动。

• 目标函数为期望效用最大化，采用指数效用形式。

- 介绍了“预留价格”及其平稳版本，为模型计算报价边界提供基础。

贝尔曼方程与最优策略的理性表达 [page::5][page::6][page::7]

• 通过动态规划原理，建立贝尔曼方程，转化为对θ(s,q,t)函数的非线性偏微分方程。

- 利用指数效用的特性，采用变量替换简化方程形式。

• 通过对λ函 数的指数型假设及泰勒展开，得出重要的简化表达。

- 短价差假设下将θ展开为q的二次渐近级数，明确定义了报价中对库存的线性响应及调节价差的机制。

明确的报价公式及价差构成 [page::8][page::9][page::14]

• 报价函数为r(s,q,t)=θ^{(1)}(s,t)+θ^{(2)}(s,t)q，价差独立于库存，分解为：

- 与库存敏感度有关的项(-θ^{(2)})
- 与订单执行强度参数κ相关的对数项

• θ^{(1)}等于mid-price s， θ^{(2)}=-γσ²(T-t)，显示出报价对库存的负向调节效应

- 价差与订单流速及风险厌恶参数γ的函数形式体现了交易者风险偏好与市场流动性的权衡

• 该结果虽修改了文献[6]中的部分计算，但结论保持一致。

关键方程求解工具与数学证明 [page::16][page::17][page::18]

• 利用Feynman-Kac公式对PDE系统求解，分别得到θ^{(0)}, θ^{(1)}, θ^{(2)}的显式解析解

- 证明和推导环节详细阐释了最优点、二阶条件及最大值唯一性的数学逻辑

• 提供了关于函数f(δ)的凹性及极值的严格分析，保证了算法的理论基础稳固

金融研究报告详尽解析

报告元数据与概览

本报告题为《On Bellman equation in the limit order optimization problem for high-frequency trading》，作者为M.I. Balakaeva和A.Yu. Veretennikov，于2025年10月21日发布。报告聚焦于高频交易（HFT）中限价单簿（bid & ask limit order book）优化问题，特别研究了Bellman方程的应用并提出了一种近似方法来构造最优策略。

核心主题围绕HFT领域的限价单优化，采用Bachelier模型描述股票中价运动，目标函数基于指数型效用，旨在最大化期望效用。报告基于Avellaneda与Stoikov于2008年提出的模型[6]，指出前人工作存在一定漏洞，但经修正后主结论保持一致，且对此现象做出了解释。报告不涉及评级或具体目标价，属于理论模型与数学方法论研究。

主要信息即Bachelier价格模型及基于动态规划和Bellman方程的最优定价策略构造。通过渐近展开手段解近似方程，推导出bid/ask价格及价差的显式表达式，验证Avellaneda-Stoikov结果，发现在极限下HFT的最优限价单策略可明确定义。

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报告结构逐节深度解读

1 引言与模型设定

本节假设交易无成本且市场完备，以Bachelier模型刻画价格中价 \( Su \) ：

\[
d Su = \sigma d Wu, \quad St = s,
\]

其中 \( Wu \) 为标准Wiener过程，波动率为常数 \( \sigma > 0 \)，初始价格为 \( s \) 。作者直接采用该模型作为价格动态的基准，适合连续且波动稳定的市场环境。

效用函数选用指数型效用：

\[
U(x,q,s) = -\exp(-\gamma(x + q s)),
\]

其中 \( x \) 表示现金初始资本， \( q \) 为持有股票数量， \( s \) 为股票价格，风险厌恶系数为 \( \gamma \)。这样设定符合金融中风险厌恶投资者的效用最大化框架，且指数效用便于解析处理。价值函数定义为期望终端效用：

\[
v(x,s,q,t) = \mathsf{E}t[-\exp(-\gamma(x + q ST))].
\]

利用Bachelier模型的条件期望性质，作者给出价值函数的显式形式（式2）：

\[
v(x,s,q,t) = -\exp(-\gamma x) \exp(-\gamma q s) \exp\left(\frac{\gamma^2 q^2 \sigma^2 (T - t)}{2}\right).
\]

基于效用无差异原则，定义买卖双方的 reservation bid 与 ask 价格，满足持仓变动无差异条件，即调整价格使价值函数保持不变。这是理论上限价单定价的关键，从而在后续定价策略中起核心作用。

这段模型设定为全篇开展最优策略构造奠定数学基础，并引入了关键参数：风险厌恶、波动率、持仓规模与时间参数。

2 预备性结果与无限时域优化

为适应HFT场景中极短时间尺度，作者引入无穷期望效用（式6），引入折现因子 \( w > 0 \)，将有限期问题近似为无穷期稳定问题，并给出无穷期效用的解析式（Lemma 2），形如：

\[
\bar{v} = \frac{2 \exp(-\gamma x) \exp(-\gamma q s)}{\gamma^2 q^2 \sigma^2 - 2 w}.
\]

对应地定义了无穷期reservation prices（Lemma 3），表达式更为复杂包含对数函数，参数 \( w \) 约束持仓极限，即有效地设定了风控边界。

这一部分从模型动态改为稳定优控制问题，方便后续通过马尔可夫性质和Bellman方程处理，同时使策略更贴近HFT对短时交易不断重复的实际。

3 限价单执行与订单流强度模型

本节正式引入HFT的限价单动作机制，代理人（交易员）设定买入价与卖出价偏离中价的距离 \(\delta^{b} = s - p^{b}\)， \(\delta^{a} = p^{a} - s\) 。执行订单的频率分别由独立的Poisson过程控制，强度函数 \(\lambda^{a}(\delta^a) = A e^{-\kappa \delta^a}\)， \(\lambda^{b}(\delta^b) = A e^{-\kappa \delta^b}\) 递减，反映挂单价格离中价越远，成交概率越低。

代理人的投资组合动态通过Poisson跳变建模进出仓，资本变动为：

\[
dXt = p^{a} d Nt^a - p^{b} d Nt^b,
\]

持仓为 \( qt = Nt^b - Nt^a \) 。交易策略问题转化为选择 \(\delta^a,\delta^b \geq 0\) 来最大化终端期望效用函数（式7）：

\[
u(s,x,q,t) = \max{\delta^{a}, \delta^{b} \geq 0} \mathsf{E}t[-\exp(-\gamma (XT + qT ST))].
\]

此处动态控制对订单流产生直接影响，构成一个非线性的反馈控制问题，体现了限价单定价与成交概率的耦合。

该部分明确了实际策略的控制变量和市场机制，用Poisson强度模型为后续Bellman方程求解做铺垫，关联了金融微观结构研究文献[1,2]。

4 Bellman方程与状态变量变换

将问题转化为偏微分方程（PDE）框架。依动态规划原理，写出价值函数的HJB方程（Bellman方程）（式8），包含价格扩散项及控制项最大化：

\[
ut + \frac{1}{2}\sigma^2 u{ss} + \max{\delta^b \geq 0} \lambda^b(\delta^b)[u(s, x - s + \delta^b, q + 1, t) - u(s,x,q,t)] + \max{\delta^a \geq 0} \lambda^a(\delta^a)[u(s,x + s + \delta^a, q - 1, t) - u(s,x,q,t)] = 0,
\]

终端条件为指数效用对应式。

通过变换

\[
u(s,x,q,t) = -\exp(-\gamma x) \exp(-\gamma \theta(s,q,t)),
\]

将PDE转为关于 \(\theta\) 的非线性方程（式9），便于展开后续对 \(\delta^a, \delta^b\) 的最优条件处理：

\[
\thetat + \frac{1}{2} \sigma^2 \gamma \theta{ss}^2 - \frac{1}{2} \sigma^2 \gamma \thetas^2 + \max{\delta^b} \frac{\lambda^b(\delta^b)}{\gamma}[1 - e^{\gamma(s - \delta^b - r^b)}] + \max{\delta^a} \frac{\lambda^a(\delta^a)}{\gamma}[1 - e^{-\gamma(s + \delta^a - r^a)}] = 0,
\]

包含了执行强度参数与reservation prices。

本节核心是将原始最大化问题改写为可分析的Bellman方程，奠定数学工具基础。

5 最优价差和价格策略的解析展开

利用形式计算及特定执行强度函数形态 \(\lambda(\delta) = A e^{-\kappa \delta}\)，针对最优 \(\delta^{a}, \delta^{b}\) 的一阶条件，推导出关键身份关系（式10,11）：

\[
s - r^b = \delta^b - \frac{1}{\gamma} \ln\left(1 + \frac{\gamma}{\kappa}\right),
\quad
r^a - s = \delta^a - \frac{1}{\gamma} \ln\left(1 + \frac{\gamma}{\kappa}\right),
\]

表明最优价差调节受到风险厌恶与订单强度参数共同决定。

之后通过Taylor级数展开以减少方程复杂度，保留零阶和一阶项，假设价差偏离 \(\delta^a + \delta^b \) 极小，对应HFT小价差交易特性（Remark 1）。

将函数 \(\theta\) 关于持仓量 \(q\) 展开为：

\[
\theta(s,q,t) = \theta^{(0)}(s,t) + q \theta^{(1)}(s,t) + \frac{1}{2} q^2 \theta^{(2)}(s,t) + \ldots,
\]

推导报价（reservation prices）可写为：

\[
r^b = \theta^{(1)} + \frac{1}{2} \theta^{(2)} (2q+1),
\quad
r^a = \theta^{(1)} + \frac{1}{2} \theta^{(2)} (2q-1),
\]

说明持仓感应系数 \(\theta^{(2)}\) 调节价格水平，表现为对持仓风险的补偿。

经典结果中价差恒定且与库存无关，价差包含两部分：依赖市场流动性强度参数 \(\kappa\) 和库存灵敏度 \(\theta^{(2)}\) 贡献。

核心结论在于价差与中价偏离表达式的闭式解，为限价单最优策略提供完整数学展示。

6 各阶 \(\theta\) 系数的偏微分方程及解

对级数中各阶 \(\theta^{(i)}\) 导出对应 PDE：

• 零阶项满足

\[
\thetat^{(0)} + \frac{1}{2} \sigma^{2} \theta{ss}^{(0)} - \frac{1}{2} \gamma \sigma^{2} (\thetas^{(0)})^2 + \frac{2A}{\kappa + \gamma} = 0,
\quad
\theta^{(0)}(s,T) = 0,
\]

给出解：

\[
\theta^{(0)} = \frac{2A}{\kappa + \gamma} (T - t),
\]

恒不依赖于 \(s\) 以满足展开假设。

• 一阶项满足线性PDE：

\[
\thetat^{(1)} + \frac{1}{2} \sigma^{2} \theta{ss}^{(1)} - \gamma \sigma^{2} \thetas^{(0)} \thetas^{(1)} = 0,
\quad
\theta^{(1)}(s,T) = s,
\]

解析解为：

\[
\theta^{(1)} = s,
\]

表现宿主价格中价对应变化。

• 二阶项满足非齐次PDE（由于平方gradient项）：

\[
\thetat^{(2)} + \frac{1}{2} \sigma^{2} \theta{ss}^{(2)} - \gamma \sigma^{2} (\thetas^{(1)})^2 - \gamma \sigma^{2} \thetas^{(0)} \theta_s^{(2)} = 0,
\quad
\theta^{(2)}(s,T) = 0,
\]

解明确为：

\[
\theta^{(2)} = - \gamma \sigma^{2} (T - t),
\]

反映了波动率、风险厌恶对价格库存敏感性的核心影响。

上述每层PDE均用Feynman-Kac公式明确求解，体现严格数学处理。

7 主要定理及其意义

根据上述展开和解析解，得出明确的出价策略：

\[
r(s,q,t) = \frac{r^{a} + r^{b}}{2} = \theta^{(1)}(s,t) + \theta^{(2)}(s,t) q = s - \gamma \sigma^{2} (T - t) q,
\]

价差为：

\[
\delta^{a} + \delta^{b} = -\theta^{(2)}(s,t) + \frac{2}{\gamma} \ln \left( 1 + \frac{\gamma}{\kappa} \right) = \gamma \sigma^{2} (T - t) + \frac{2}{\gamma} \ln \left(1 + \frac{\gamma}{\kappa} \right),
\]

这一结果完全与Avellaneda-Stoikov[6]中得到的对应表达式一致，尽管本文纠正了部分计算错误。

直观上，持仓 \(q\) 对定价存在线性影响，反映风险厌恶和市场影响压力，价差由库存风险和订单执行率决定。价差恒定且独立于库存量，进一步贴合极短价差、高频交易的特点。

报告中指出如未忽略小价差项（Remark 1），结果可能会有所不同。

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图表深度解读

报告未包含传统意义的图表或图片，主要由数学式和公式构成，重点在于解析式和PDE解法。下列为公式及表达式的内容说明和解读：

• 式(2)、Lemma 1、Lemma 2与3均为价值函数及reservation price的显式表达，展示了Bachelier基础上价值函数指数形式及无穷期价值函数计算方法，明确连接价格波动、持仓规模与效用期望。

- 执行强度函数 \(\lambda(\delta)=A e^{-\kappa \delta}\) 体现出以指数函数刻画价格偏离对订单流影响的微观结构观点。

• Bellman方程(8)为问题数学表达核心，反映动态最优控制框架。

- 替换函数 \(\theta\) 和逐阶PDE方程分别对应实际交易策略中价差与库存调整策略的构成。

• 最终的主定理给出价差和均价的直观表达，既包含理论严谨的证明，也透出实际可操作性。

因此，虽然图表缺失，报告通过层层递进的数学推导形成一套完整的理论体系，体现了对HFT限价单最优定价的深刻理解。

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估值分析

本报告不涉及传统的证券估值（如DCF估值、公允价值测算等），而是聚焦于基于市场微观结构的最优限价策略的数学解析，因此未有经典估值模型。

不过，报告中“估值”含义可理解为策略价格的“理论价值”或“reservation price”，即：

• 通过动态编程和效用最大化建立价值函数

- 由该价值函数计算reservation bid/ask价格，其含义是买卖股票后效用不变的平衡价格

• 利用状态变量变换和渐近展开，求解并得出价差（即策略利润空间）和均价线性调节库存风险的表达式

此过程等价于通过解析PDE和有效参数估计确定的动态定价和控制策略估值。

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风险因素评估

报告内部涉及的风险因素主要以模型假设和市场机制为中心：

• 价格模型假设： 采用Bachelier模型，假设无漂移，仅有波动，且参数固定，实际市场存在的跳跃、非高斯波动未考虑。

- 无交易成本假设：理想化假设忽略手续费和滑点，实际高频交易中影响利润率。

• 订单流强度模型假设：指数衰减函数定义订单到达率，实际可能受市场微结构和流动性冲击影响，模型可能过于简化。

- 无限期模型假设：使用折现因子替代有限期，但折现率 \(w\) 是人为引入参数，选择不当可能导致策略失效。

• 价格差价小：假设价差 \(\delta^a + \delta^b \to 0\)，符合HFT小价差策略，但实际价格波动及流动性波动可能导致偏差。

- 库存风险管理：通过库存量线性调节报价，风险函数简化，未考虑行情突变或持仓极端情况。

报告虽未专门列出风险缓解方案，但通过模型形式和稳健数学推导隐含了对这些风险部分的控制，如库存限额，价格风险折现等。

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审慎视角与细微差别

• 尽管纠正了前文[6]中价格表达式的错误，最终主结论保持一致，说明原文计算漏洞对结果影响有限，但此纠正彰显了细节严谨性的重要。

- 报告明确指出丢弃价差偏差项并非严格证明，而是基于HFT操作的经验假设，模型适用范围有限，尤其在价差不够小或市场流动性差时策略的适用性值得谨慎。

• 采用Bachelier模型没有包括漂移项，若价格趋势明显，模型可能失效。

- 报告没有详细论述效用函数参数选择对策略的敏感度，以及订单流强度对最优策略的现实调整，潜藏不确定性。

• 虽整体论证严密，模型仍为理想化设定，实际交易涉及复杂微观结构因素，对结论推广需格外注意。

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结论性综合

本报告围绕高频交易中限价单优化，从Bachelier中价模型开始，建立了以风险厌恶指数效用最大化为目标的动态随机控制框架。通过定义reservation bid 和 ask价格，并利用订单流的Poisson模型特点，将问题转化为求解Bellman方程，进而通过状态变量替换和渐近法展开得到持仓依赖的价格策略。

报告精细纠正了原文[6]中的部分公式错误，尤其是reservation价格的解析表达，重新推导了最优价差及均价的显式表达。最终展示的价格公式：

\[
r(s,q,t) = s - \gamma \sigma^{2} (T - t) q,
\quad
\delta^{a} + \delta^{b} = \gamma \sigma^{2} (T - t) + \frac{2}{\gamma} \ln \left(1 + \frac{\gamma}{\kappa}\right),
\]

不仅理论上具有较高的严谨性，也与经典Avellaneda-Stoikov模型结果一致，确认了模型的有效性和适用性[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18]。

整体来看，报告提供了对高频交易中限价单定价和风险管理的理论支撑，强调了动态规划和Bellman方程方法在金融市场微观结构领域的应用价值，对后续高频市场策略设计和风险评估具有重要参考意义。

报告