研究方法与模型框架 [page::0][page::3][page::4]

• 采用基于GAMLSS的分布回归框架，参数随时间呈季节周期性变化，线性和交互项纳入长期趋势，捕捉非平稳动态。

- 河流流量以扩展广义伽玛分布（包含伽玛、韦布尔、对数正态等分布的特例）建模，参数包括位置$\mut$、尺度$\sigmat$和形状$\nut$。

• 通过傅里叶基函数描述参数的季节效应，以周期为365.25天，允许参数以正弦余弦基函数及其与时间趋势的交互形式变化。

- 参数估计基于似然函数最大化，采用“sandwich”估计应对模型误设（忽略时间相关性）引起的推断偏差。

模型拟合与选择 [page::8][page::11][page::15]

• 使用Takeuchi信息准则（TIC）指导模型结构选择，逐步增加傅里叶频率和趋势交互项，结合变量筛选防止过拟合。

- 针对三站点数据分别拟合纯季节性模型及动态季节性模型，考虑数据规模与时序长度差异。

• 多站点联合模型结构共享，参数独立估计，实现稳定性与个性化间平衡。

- 拟合过程使用31天的Tukey-Hanning加权方案估计空间-时间协方差矩阵，确保稳健的不确定性量化。

结果与分析 [page::10][page::12][page::14][page::15][page::18]

• 纯季节模型在短期数据（站点A）拟合良好，但预测极端事件（如2021年11月洪水）返回期过高，表明忽略趋势不合理。

- 动态季节模型（站点B、B与C联合）有效捕捉长期趋势，春季峰值提前，尾部指标随时间波动，符合气候变化预期。

• 模型残差QQ图整体拟合优质，单月凸显部分尾部偏离，尤其在春夏季节，显示数据和模型局限。

- 参数$\nut$的变化表明过程有时偏向伽玛，有时偏向对数正态，且季节动态显著。

• 尾指数$\sigmat^2\nut$指示四阶矩多时间具有限值，提示分布尾部适合描述极端风险。

方法优势与应用前景 [page::18][page::20]

• 提出框架自然直观，动态展现气候年周期影响及非平稳变化，无需建模复杂时间依赖。

- 扩展广义伽玛分布灵活，易区分对数正态与伽玛分布拟合优劣，适水文环境数据特性。

• 潜在应用包括保险定价、风险管理及气候变化影响评估，强调需结合领域专家校验观测资料真实性。

- 建议未来可探索局部光滑（如循环B样条）、季节数据不平衡校正和极值建模等扩展。

关键图示简述

• 展示站点A纯季节模型参数及均值、标准差、尾指数的季节变化，揭示参数光滑且具有典型春季（水峰）特征。[page::13]

• 模型选择路径与TIC变化，体现参数复杂度与拟合优劣权衡过程。[page::11]

• 动态季节模型中参数数量与TIC的收敛趋势，指示动态模型比纯季节模型更适合长序列河流数据。[page::15]

• 动态季节模型不同年份参数示意图，揭示长期趋势对参数季节性行为的影响及尾部波动动态。[page::16]

1. 元数据与概览

报告标题

Distributional regression for seasonal data: an application to river flows

作者

Samuel Perreault, Silvana M. Pesenti, Daniyal Shahzad

发布机构

多伦多大学统计科学系（Department of Statistical Sciences, University of Toronto, ON, Canada）

日期

2025年10月22日

主题

报告围绕环境统计学与风险管理，特别聚焦于基于季节性数据的分布回归模型的构建及其在加拿大不列颠哥伦比亚省弗雷泽河（Fraser River）河流水量数据上的应用。探索了气候、河川流量的季节性和趋势性变化，并提出利用扩展的广义伽马分布（generalized gamma distribution）作为统计建模的核心分布族。

核心论点及目的

当前洪水或灾害保险的风险评估主要依赖极值统计方法，专注极端事件的尾部风险，无法全面描绘中等或频繁事件的分布情况与季节变动。报告提出基于GAMLSS框架的动态季节性分布回归模型，可完整估计日变化的环境变量分布，涵盖季节性循环与长期趋势，且无需明确建模数据中的时间序列依赖性，简化建模难度。应用集中于弗雷泽河三站的河流水量数据，并对2021年重大洪水事件进行了分析。[page::0,1]

2. 报告逐节深度解读

2.1 引言（Introduction）

• 关键论点

传统洪水风险评估多依赖年/季极大值或阈值超越方法（极值理论），有效刻画极端事件，但难以了解河流多样季节性及频繁损失风险。报告提出的全分布建模框架可提供更全面的环境风险视角，结合季节性变化和长时间趋势，尤为重要于保险风险定价和资本配置。

• 逻辑依据和假设

季节性模拟不强调具体时间序列依赖，仅依赖时间点的解释变量（如当年日期等），降低建模复杂度，同时利用分布参数平滑函数捕捉动态；通过广义加性模型实现对位置、尺度、形状等参数的灵活估计。长期趋势的引入支持针对气候变化的非平稳性建模。

• 背景数据说明

引用洪水风险文献和极值理论，表明其不足以及空间时间依赖性考虑的重要性。通过对完整的环境变量分布描述可改进此类分析。[page::0]

2.2 数据与方法动机（Motivating data and contributions）

• 应用语境介绍

选取加拿大BC省弗雷泽河三站多年未间断日均流量数据，时间跨度达数十年到超过一个世纪，其地理多样性带来复杂的水文特征。2021年11月曾遭遇极重大洪水事件，提供现实应用背景。

• 方法贡献

基于先前季节性模型工作，新增时间趋势与季节—趋势交互项，实现非平稳季节性建模。采用扩展广义伽马分布，兼容包括伽马、韦布尔和对数正态等多种分布，建模能力更强。

• 技术细节

不考虑时间序列依赖，视为独立样本并采取恰当的推断修正以应对误入模型。提出先拟合边际分布，再通过概率积分变换构造伪观测量以后续建模依赖结构的策略。[page::1]

2.3 模型基础及扩展（Model setup and seasonal extension）

• 模型假设

观测变量为时变随机过程，分布函数由参数向量（位置 $\mut$，尺度 $\sigmat$，形状 $\nut$）决定，参数随时间变化，体现季节及长期趋势。

• 数学结构

采用GAMLSS模型框架，借助链式连接函数（log或恒等函数）和时间相关协变量（如傅里叶级数基函数及多项式趋势项）构造参数变化。扩展包括季节-趋势交互，允许季节形态随时间变换，突破原模型固定周期（cyclostationarity）的限制。

• 傅里叶基函数作用

以周期365.25天为周期，通过正余弦函数灵活拟合参数季节性周期波动。

• 趋势建模限制及平衡

支持线性或简单多项式趋势，避免复杂的高阶基函数过拟合。优先考虑傅里叶与线性趋势组合。[page::2,3]

2.4 广义伽马分布及参数特征（Generalized Gamma distribution）

• 分布定义

采用Prentice(1974)扩展的三参数广义伽马分布（GT），形式包括位置参数 $\mut>0$，尺度参数 $\sigmat>0$，和形状参数 $\nut$。$\nut=0$时分布退化为经典的对数正态分布。

• 模型灵活性

该分布囊括伽马、韦布尔等多个常用分布为特例，允许形状随时间变化，适应河流流量数据的异态尾部行为。

• 参数解释

关键数学关系是尾指数 $\sigmat^2 \nut$，决定分布高阶矩的存在性，负值意味着部分高阶矩发散，体现尾部重量。

• 各阶矩公式

详细给出$\mathbb{E}[Xt^k]$、均值和方差表达式，基于Gamma函数，保证理论上的严谨与实际计算的可达到性。

• 季节性模型参数化

通过傅里叶级数展开截距项与频率系数，参数量由用户设定或自动数据驱动调整，分量之间有阶梯包含关系（低频必须纳入，方可加入高频），保证模型层级性清晰。[page::4,5]

2.5 动态季节模型（Dynamic seasonal model）

• 进一步扩展

在基本傅里叶季节模型基础上加入线性时间趋势及其与傅里叶项的交互项，支持季节形态随时间滑动变化。

• 模型结构

参数联立为如下形式：
$$g{\theta}(\thetat) = \beta{\theta 0} + \beta{\theta 0}^t t + \sum{k=1}^{d\theta} \left( \beta{\theta k}^c Ck(t) + \beta{\theta k}^s Sk(t) \right) + \sum{k'=1}^{p\theta} t \left( \beta{\theta k'}^{c t} C{k'}(t) + \beta{\theta k'}^{s t} S{k'}(t) \right)$$

• 设计规范

保证个频率与交互均采取阶梯入模规则，交互项频率$p\theta$不超过基本傅里叶阶次$d\theta$。

• 模型记法

用${\cal S}\theta = (d\theta, p\theta)$ 表示参数$\theta$的模型复杂度设计。[page::6]

3 模型拟合与推断

3.1 目标函数

• 基于假设观测独立，通过极大似然函数$\ell(\beta | X) = \sumt \log f(Xt|\mut, \sigmat, \nut)$估计模型参数向量$\beta$。

- 因$\nut$可接近$0$导致数值不稳定，采用Perreault等（2025）提供的扩展版广义伽马分布实现，利用Taylor与Stirling公式近似保证计算稳定。[page::6,7]

3.2 误入模型推断

• 由于模型假设观测独立且忽略时间依赖，导致推断中经典的巴特利特恒等式不成立，需采用sandwich估计量校正参数协方差估计，以保证渐近正态性和有效推断。

- 采用Tukey-Hanning权重为31天宽带的加权矩阵估计序列自协方差，充分考虑序列依赖对估计量的影响。

• 同时支持基于校正的置信区间与假设检验，如对$\nut$是否恒为0（即是否为对数正态分布）进行卡方检验。[page::7,8]

3.3 模型选择

• 通过逐步添加傅里叶项、趋势项及交互项构造候选模型集合。

- 选用逐次比较目标函数增幅与参数增量比值的贪心策略筛选单步最优模型。

• 最终使用修正过的Takeuchi信息准则(TIC)平衡模型拟合优度与复杂度作为终止依据，替代普通AIC以适应误入模型框架。[page::8,9]

3.4 诊断手段

• 利用概率积分变换的标准化残差（正态化$Z$-score）进行模型拟合优度评估。

- 直观展示方法为QQ图，包括整体和按照月份分组的月度QQ图，可检测拟合的季节性一致性与尾部表现。[page::9]

4. 图表深度解读（关键图表解读）

图1（第10页）

• 描述

地图左图展示了三个观测站的位置（A、B、C），右图展示了1990年三站的河流水量时序及2021年11月洪水事件四个关键点（位于站A）。

• 数据语境

三站分布涵盖上游雪山处、峡谷及低地河谷，提供地理层级的水文信息。11月洪水因城市邻近产生巨大经济风险。

• 意义联系

该图为后续季节及动态模型提供实际背景，尤其是11月洪水的极端联系，作为评估模型扩展必要性的重要实例。[page::10]

图2（第11页）

• 描述

展示了拟合纯季节性模型过程中负对数似然（实线）与TIC（虚线）的演变，横轴为模型参数总数，右图放大部分稳定区间。

• 数据趋势

随参数增加，负对数似然显著下降，前几个阶梯性阶数的傅里叶项作用显著，后续趋于平稳。TIC曲线给出模型复杂度与拟合提升的权衡。

• 选型依据

选取曲线接近平稳且TIC最低的模型，即参数组合$(S{\mu}=(4,-), S{\sigma}=S{\nu}=(2,-))$。[page::11]

图3（第13页）

• 描述

纯季节模型的标准化残差QQ图，左图为整体，右图为分月的细致对比。

• 发现

整体拟合较好，残差接近标准正态分布线；但三月至七月存在尾部偏离，提示该期间模型捕捉能力稍显不足，或数据不全。

• 联系

可能因模型未涵盖趋势或高频波动，需谨慎解读季节性残差偏离。[page::13]

图4（第13页）

• 描述

纯季节模型估计的$\mut,\sigmat,\nut$三个参数及其驱动的均值、标准差与尾指数$\sigmat^2 \nut$随年日变化曲线。

• 解读

位置参数呈现春季峭壁式上升，之后逐渐下降，反映融雪季节流量增加；尺度及形状参数波动则带来冬季和秋季标准差的显著峰值。

尾指数始终大于-0.25，表明第四阶矩存在，第五阶矩在冬末期可能无穷，反映可能有极端大流量事件。

• 文本结合

这一趋势合理捕捉水文年循环规律及尾部渐近特征，为准确风险估计奠定基础。[page::13]

图5（第15页）

• 描述

站B动态季节模型（含趋势与交互）拟合过程中的负对数似然及TIC变化，右图聚焦稳定区间，标明最终选定和最佳（TIC最优）模型。

• 分析

模型复杂度及参数数量大于纯季节模型，且TIC持续下降表明趋势与交互对数据拟合贡献显著。

权衡简约性与拟合优度，选择含35个参数的较简模型而非较优但复杂的46参数模型。

• 意义

表明动态模型对长时间跨度数据更优，捕获了气候变化导致的非平稳季节性演变。[page::15]

图6（第16页）

• 描述

动态季节模型标准化残差整体及分月QQ图。

• 发现

拟合质量明显优于纯季节模型，尤其三月至七月的尾部偏离减少，验证了模型的扩展有效性。

• 结合文本

支持使用趋势与交互来提高拟合质量，便于更可靠地分析季节性动态。[page::16]

图7（第16页）

• 描述

动态模型下，三个代表年份（1920、1970、2020）河流水量分布参数及相关统计量随着年内日期的季节性变化曲线，展示长期趋势。

• 洞见

位置参数和均值的春季峰值逐年提前，符合气候变暖引发雪季提早融化趋势；尺度参数无明显长期趋势但尾指数呈现加重（冬春）和变轻（秋季）趋势。

• 意义

体现模型对气候变迁的敏感捕捉，验证非平稳动态季节模型的科学价值。[page::16]

图8（第17页）

• 描述

联合动态季节模型对站B与C拟合路径的负对数似然与TIC变化，右图同样重点区域标注模型。

• 解读

结构选择与单站类似，但时间趋势部分模型复杂度较低，符合联合分析覆盖样本时间窗口较短的实际。

• 联系

验证联合建模在稳定结构选择上的有效性及应对短时序的优势。[page::17]

图9（第19页）

• 描述

联合模型下标准化残差的整体与分月QQ图，对比B、C两站拟合质量。

• 发现

两站表现均良好，残差分布正常，支持联合模型的充分性。

• 意义

促进多站数据的整合分析，提升估计稳定性和效率。[page::19]

图10（第19页）

• 描述

联合模型下，1952、1987、2022年两站河流参数与统计量的季节变化对比。

• 分析

位置参数站C显著较站B低，符合下游流量更大特性。尺度与形状参数参数相似，提示联合模型已实现部分结构共享。

• 推断

两站差异主由流量规模，非分布形态驱动，未来可考虑更加复杂的参数共享或差异建模策略。[page::19]

5. 估值分析

报告虽非传统金融估值研究，不涉及标的资产估值，但其方法体现为环境风险“估计”中的模型估计和风险衡量：

• 估值方法

可视为时间变参数分布回归问题，参数估计通过最大似然法（误入模型下通过sandwich校正）。

• 输入假设

重要输入包括傅里叶频数、趋势及交互阶数，利用信息准则（TIC）进行复杂度控制。

• 估值输出

实际表现为环境变量的完整分布，允许动态计算置信区间及关键风险指标（如回归期估计），支持保险定价和风险资本评估。

6. 风险因素评估

• 潜在风险

1）模型误入风险：时间序列独立假设简化推断，但忽视了真实的依赖结构，可能影响估计的置信和尾部风险表现。
2）周期性假设过强：纯季节模型（cyclostationarity）对长期趋势忽略，导致诸如2021年洪水极端值回归期估计异常（过大）[page::14]。
3）数据测量风险：水文数据可能因仪器更换、站点迁移产生非水文因素的结构变化[page::20]。
4）模型灵活性不足：使用全局傅里叶基可能引入人工平滑，局部季节特异性表现欠佳、不足以捕获极端尾部事件。

• 缓解策略

1）误入模型通过sandwich方差估计及加权自协方差缓解，建议结合专业后续时间序列建模。
2）采用动态季节模型融合趋势提高适应性。
3）联合多个站点数据增强结构稳定性。
4）未来考虑局部基函数（例如环形B样条）及极值理论结合，补强尾部建模。

7. 批判性视角与细微差别

• 模型假设

季节循环假设（cyclostationarity）适用于相对短期平稳环境，长时序数据下常显不足。该报告尤其注意到2021年洪水事件不包含在训练数据范围，纯季节模型估计极端尾部不合理，体现模型忽略非平稳风险。动态模型部分缓解此问题，但仍可能面临趋势建模复杂度权衡。

• 参数共享限制

联合模型通过共享结构减少参数量，贯穿模型假定部分参数形态一致，可能损害细节适应性和空间异质性，后续研究应权衡偏差与方差。

• 基函数选择影响

全局傅里叶基函数虽计算方便，却难以适应局部快速变化及极端条件，未来局部基函数可能更优。

• 尾部建模不足

扩展伽马族提供较好拟合整体分布，但未专门针对极端事件极值段建模，若保险风险聚焦尾部，可能不足。

8. 结论性综合

本报告提出了基于GAMLSS框架的动态季节性分布回归方法，通过将分布参数建模为周期傅里叶基与线性趋势及其交互的函数，实现对环境时序数据完整概率分布的连续估计。核心创新包括:

• 非平稳季节性建模：突破传统极值基风险估计，整合季节循环与长期趋势，实现对河流日均流量动态分布的描述。
• 应用扩展的广义伽马分布：结合对数正态和伽马分布的优势，支持丰富尾部行为捕获，理论上可推导存在的阶矩数，提升风险理解度。
• 系统模型拟合与选择策略：通过采纳误入模型推断技术和修正的Takeuchi信息准则，保证了科学且系统的模型复杂度控制。
• 实证验证与诊断：在加拿大弗雷泽河三站历史数据上测试，纯季节模型有效识别季节变化但不足以捕捉趋势变化和极端事件；动态模型显著提升拟合精度与风险估计合理性，多站联合模型进一步稳定结构选择，实现信息共享。
• 视觉及统计分析支持：多个QQ图、参数变化图和信息准则路径图直观展示模型性能、季节及趋势特征，辅以回归期估计突出模型现实意义。

整体上，该框架为环境风险和气候相关保险提供一种动态而全面的统计模型解决方案，兼具理论坚实性和实际应用潜力。未来改进建议包括引入局部基函数、极值分布整合及测量误差处理，以进一步提升模型在极端风险管理中的表现。[page::0-20]

图表附录

图1地理与时序背景图


图2纯季节模型拟合路径图


图3纯季节模型QQ图


图4纯季节模型参数趋势图


图5动态季节模型拟合路径图


图6动态季节模型QQ图


图7动态季节模型参数演变图


图8联合模型拟合路径图


图9联合模型QQ图


图10联合模型参数对比图


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综上，报告提出的动态分布回归方法实现了季节性及趋势环境变量的精细建模，兼具理论深入性和实践应用价值，体现了统计学与风险管理的高水平跨领域融合。[page::0-20]

报告