组合优化一般框架及关键约束参数解析 [page::2][page::5]

• 组合优化基于Markowitz均值-方差框架，融合alpha预测、风险模型、交易成本模型及多样约束。

- 主要约束包括交易成本惩罚与换手约束、风险厌恶系数与跟踪误差约束、权重上下限和风格因子暴露约束、股票数量约束。

• 交易成本惩罚系数$\rho$设计兼顾单期成本与长期组合收益，沪深300和中证500增强组合的最优惩罚系数分别取0.3和0.5。交易成本越高，组合持股数量反而越多。

- 风险厌恶系数$\lambda$设定影响组合收益风险取舍，沪深300增强组合建议$\lambda=20$，中证500建议$\lambda=15$。

• 风格因子暴露约束需适度放松以扩展投资者收益风险范围，过严约束会收缩组合表现空间。

- 股票数量约束应结合管理规模，过紧可能导致较大收益损失和违约风险。

交易成本惩罚系数影响分析表（部分） [page::3]

| 惩罚系数 | 沪深300年化收益率 | 中证500年化收益率 | 换手率（沪深300） | 换手率（中证500） |
|---------|------------|------------|------------|------------|
| 0.0 | 15.7% | 11.6% | 55.6% | 31.1% |
| 0.2 | 17.2% | 12.2% | 42.8% | 22.3% |
| 0.4 | 17.8% | 12.1% | 32.2% | 16.0% |
| 0.5 | 17.5% | 11.8% | 27.8% | 13.6% |

• 表格显示惩罚系数提升初期收益率增加，换手率下降，表明合理惩罚可平衡交易成本与收益。

风险厌恶系数对组合表现的影响 [page::5][page::6]

• $\lambda$越大，组合越保守，信息比先升后稳，跟踪误差和最大回撤下降。

- 沪深300和中证500增强组合均呈现收益-风险权衡规律，该参数需基于历史回测选择。

• 风格因子约束松紧调整对风险厌恶系数的影响显著，过严限制压缩组合风险收益空间。

股票数量约束及其计算复杂度优化方法 [page::7][page::8][page::13][page::14][page::15]

• 股票数量约束可转化为混合布尔型优化，直接求解计算量大，需采用二步法降低复杂度：

1. 无数量约束下求解，得到基准权重；
2. 基于权重大幅筛选股票子集后，在子集上运行Branch-and-Bound求解。

• 不同参数设置下，结合迭代次数控制优化时间和结果稳定性，优化性能和业绩影响微小。

- MIP优化时间随迭代次数近似线性增长，但年化收益和跟踪误差差异小于0.3%。

组合优化计算性能提升及优化器比较 [page::9][page::10][page::11][page::12]

• 引入风险因子分解，组合方差计算复杂度由$O(n^2)$缩减至$O(nk)$，提升近两数量级。

- ECOS优化器结合协方差结构输入相比直接输入矩阵，计算时间提升3数量级，优于SCS。

• ECOS性能接近商用MOSEK和Gurobi单线程水平，但不支持多线程并行。

- 不同参数组合下，沪深300和中证500的全市场组合优化平均单次计算时间为0.5-3秒。

量化因子与指数增强模型说明 [page::18]

• 指数增强模型覆盖沪深300、中证500，采用多大类alpha因子组建，含估值、成长、盈利能力、流动性、投机性、分析师预期等 6-7 大类因子。

- 模型定期调仓，单边交易成本设定为3bp，行业暴露和个股超额权重严格约束，确保风险控制。

组合优化的若干问题因子选股系列研究之三十五——详细分析报告解构

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一、元数据与报告概览

• 报告标题：《组合优化的若干问题因子选股系列研究之三十五》

- 发布机构：东方证券研究所

• 发布日期：2018年3月1日

- 作者：朱剑涛、王星星（两位证券分析师，执业证书编号分别为S0860515060001和S0860517100001）

• 主题：该报告聚焦于量化投资中的组合优化方法，特别是涉及组合优化的框架、关键参数选择及其计算性能。涵盖了交易成本、风险管理、权重约束、风格因子暴露约束及股票数量约束等多个维度。

- 核心论点：
- 系统回顾组合优化的一般框架，基于经典均值-方差（MVO）模型，结合现代实务中因子模型及各类约束。
- 讨论了组合优化中关键参数如何选择，包括交易成本惩罚系数、风险厌恶系数及跟踪误差约束、权重和风格约束等。
- 组合优化计算效率的显著提升来自于股票协方差矩阵因子分解结构的引入与优化算法的有效实现。
- 对含股票数量约束的组合优化问题提出二步求解方案，极大地提升求解效率。
- 封装了python工具包含多类约束的组合优化函数，可对实际投资组合构建提供支持。

• 研究结论摘要：

- 不同风险水平对应不同预期收益，风险厌恶系数或跟踪误差约束可调节风险收益曲线。风格暴露过于严格时可选的风险收益范围会缩小，需适当放松。
- 协方差矩阵利用因子化结构后，计算复杂度从O$(n^2)$下降到O$(nk)$，大大提升计算性能，结合ECOS优化器实际单次优化时间维持在0.6秒到3秒范围。
- 带股票数量约束的混合布尔型优化问题使用Branch-and-Bound方法求解时困难较大，采用二步筛选法限制空间后优化效率提升显著。
- 该报告基于CVXPY、ECOS封装了可支持常见约束的组合优化工具，有需求可联系报告联系人。

• 风险提示：

- 量化模型可能失效。
- 极端市场环境冲击风险[page::0,16]

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二、逐节深度解读

1. 关于组合优化的一般框架

• 以Markowitz于1952年创立的均值-方差组合优化（Mean-Variance Optimization，MVO）为基础，当前主流投资管理中仍未有更替代框架，报告延续采用MVO。

- 指数增强组合优化模型框架定义目标函数为：

$$
\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{r} - \boldsymbol{c}^T |\boldsymbol{w} - \boldsymbol{w}0| - \lambda \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{x}
$$

其中，
- $\boldsymbol{x}$ 表示主动权重向量（相对基准$\boldsymbol{w}^b$的偏离）
- $\boldsymbol{r}$ 为预期收益（Alpha）
- $\boldsymbol{c}$ 为交易成本惩罚参数
- $\lambda$ 为风险厌恶系数
- 协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}$ 用于风险（方差）计算
- 权重向量$\boldsymbol{w} = \boldsymbol{w}^b + \boldsymbol{x}$

• 约束包括换手率、跟踪误差、权重上下限、风格因子暴露、股票数量约束等。

- 组合优化分为四个基本模块：
- Alpha模型：预测预期收益率$\boldsymbol{r}$
- 风险模型：预测协方差矩阵$\boldsymbol{\Sigma}$
- 交易成本模型：影响交易成本惩罚和换手约束
- 其它约束模块[page::2]

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2. 交易成本惩罚与换手约束

• 交易成本通常与权重变化量正比，惩罚项为 $C^T|w - w0|$，实际中考虑交易成本属于一次性且调仓后仍有后续收益，简单惩罚模式忽略了多期收益。

- 多期优化虽理论可行，但计算复杂且使用难。

• 经验做法引入交易成本惩罚系数$\rho$，$0 \leq \rho \leq 1$，调整交易成本惩罚力度：

$$
c = \rho \times C
$$

- $\rho=0$时忽略交易成本惩罚
- $\rho=1$时全额惩罚当前期交易成本，忽视后续收益
- $\rho$值依赖调仓频率和Alpha模型衰减速度，通过回测调优

• 报告对沪深300和中证500全市场增强组合进行回测分析，统计月度调仓在不同$\rho$值条件下：

- 当$\rho$从0增加到约0.2-0.4，年化收益率和信息比均先提升，换手率逐步下降，说明适度惩罚交易成本能改善组合表现。
- 过高惩罚系数会导致收益和信息比下降，但持股数量反而会增加，推测因高交易成本使得股票权重持有延续性增强。

• 换手约束可直接对换手率进行限制，与交易成本惩罚功能近似，二者一般只需选其一[page::3,4]

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3. 风险厌恶系数与跟踪误差约束

• 风险厌恶系数$\lambda$体现投资者对风险的态度，数值越大组合越保守，跟踪误差越低。

- 理想无约束模型中风险厌恶系数可通过信息比(IR)及跟踪误差$\sigmap$估算：

$$
\lambda = \frac{IR}{2 \sigmap}
$$

• 结合实际约束（如风格因子暴露），$\lambda$一般比理想值低。

- 不同$\lambda$对应不同的收益-风险权衡：
- $\lambda$升高，跟踪误差和最大回撤下降，但年化收益率也下降，信息比先升后缓慢提升。
- 持股分散度随$\lambda$增大即更高风险厌恶而上升，用于减少跟踪误差。

• 实证回测结果：

- 中证500增强组合建议$\lambda$为15-20区间，沪深300增强$\lambda$建议20-30。

• 风险厌恶系数和跟踪误差约束功能类似，单期优化一般只取其一[page::4,5]

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4. 权重上下限和风格因子暴露约束

• 权重上下限用于防止组合集中度过高。下限一般为零（A股市场不允许做空）。

- 风格因子暴露约束控制组合的行业、市值因子等暴露在合理范围，防止风险暴露过度依赖估计的协方差矩阵。

• 不同风格因子限制强度对组合风险收益影响显著：

- 丰富的风格暴露约束会缩小可选的风险收益范围，使得即使低$\lambda$组合回撤和跟踪误差都受限，预期收益也低。
- 完全行业市值中性约束下，收益和跟踪误差均较低但组合范围狭窄。
- 无风格约束，组合可选风险收益范围最大，但风险控制更依赖协方差估计。

• 建议投资者根据风险偏好，适度放松风格因子暴露约束，实现风险收益的广泛选择。

- 对沪深300和中证500增强组合，详细表格显示了不同$\lambda$和风格因子暴露条件下，年化收益、跟踪误差、信息比、换手率与平均股票数的变化趋势[page::5-7]

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5. 股票数量约束

• 股票数量约束和基金规模、风险管理需求相关，管理规模大时股票数量不宜过少以避免冲击成本过高。

- 严格股票数量限制可能导致预期收益损失或无法满足跟踪误差约束。

• 通过回测观察：

- 限制股票数目减少会导致跟踪误差和最大回撤略有升高，年化收益差别不大，信息比则略下降。

• 不同股票数量约束下沪深300和中证500增强组合的表现表明适度限制股票数量可以控制风险，但不宜过严。

- 约束冲突方面：
- 跟踪误差过低与换手约束、股票数量约束可能无解。
- 权重上限过低与股票数量约束冲突明显。
- 停牌股存在时可能导致约束无法满足，投资者需妥善处理。

• 一般将跟踪误差约束和换手约束纳入目标函数惩罚项待优化，跳过停牌股交易操作[page::7-9]

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6. 组合优化计算性能

• 组合优化问题类型依约束不同可划分为：

- 无股票数量约束：凸优化（CO）
- 股票数量约束：混合整形优化（MIP）
- 无二次项约束：二次优化(QP)
- 有二次约束：二阶锥规划(SOCP)

• 组合优化的计算瓶颈主要在组合方差计算：

$$
w^T \Sigma w
$$

原始计算复杂度为$O(n^2)$，引入结构化因子模型$\Sigma = Xf F Xf^T + D$后，计算分解为：

- 计算因子暴露 $f = Xf^T w$，复杂度$O(nk)$
- 计算因子风险 $f^T F f$，复杂度$O(k^2)$
- 计算残差风险 $w^T D w$，复杂度$O(n)$

总体复杂度降至$O(nk)$，大幅提高效率。实际测算显示，对于全市场3000只股票、40个风险因子时，相比直接协方差计算速度提升约2个数量级（从6.45ms降至~43.9μs）。

• 优化求解器性能：

- 利用python cvxpy调用开源优化器ECOS和SCS测试不同组合优化参数组合求解时间差异。
- 结果显示引入协方差因子结构后，ECOS提升3+数量级，SCS提升2数量级的速度。
- ECOS相较SCS性能更佳，计算精度更高，在结构化模型下更推荐使用ECOS。
- 大规模问题下无因子结构协方差，ECOS耗时时长（20分钟级别，3000股票），而CVXOPT在相同条件下仅需30秒-7分钟，但无法直接利用结构协方差结构。

• 与商用优化器（MOSEK、Gurobi）对比，ECOS单线程性能不逊色，后者优势主要在并行计算能力[page::9-12]

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7. 股票数量约束的处理

• 股票数量约束转为混合布尔型问题：

$$
\mathbf{1}^T(w>0) \leq n{max} \Rightarrow 0 \leq w \leq \eta, \quad \eta \in \{0,1\}^n, \quad \mathbf{1}^T \eta \leq n{max}
$$

• 采用Branch-and-Bound (BB) 方法求解混合布尔型凸优化，但3000股票全市场组合的BB方法收敛时间不可接受。

- 报告提出二步优化法：
1. 无数量约束求解得到权重$w1$
2. 根据$w1$选定候选股子集，强制保留行业内最大权重股及前驱股票，划定可行域大小$n1$和保留股数$n2$（$n2 \leq n{max}$）
3. 在缩小可行域中运用BB算法，限制最大迭代次数niters，提前终止返回最优解

• 通过调整$n1$取值为$n{max}$的0.7、0.8、0.9倍及niters为100、1000，分别测试优化时间和组合业绩：

- $n1$越小，平均优化用时越长，原因是BB迭代次数更多。
- niters提升则最大优化时间成比例增长。

• 优化参数对组合收益影响较小，主要影响组合边缘小权重股票的权重分布。

- 报告建议在股票数量约束优化中寻求相对可行解，避免为全局最优解耗费过长时间。

• 调整优化函数精度：

- 旧精度$10^{-8}$带来大量小权重股票，总权重约30%
- 新精度$10^{-10}$下，小权重股票权重降至约9.6%

• 新报告采用ECOS默认精度 ($10^{-7}$)，有效解决了小权重股票过多的问题[page::13-15]

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8. 总结及工具实现

• 组合优化框架基于MVO，结合Alpha模型、风险因子模型、交易成本及其它多种约束。

- 关键参数需要结合历史回测确定，如交易成本惩罚系数$\rho$、风险厌恶系数$\lambda$、风格暴露约束。

• 利用因子化结构显著降低组合方差计算复杂度，提升整体优化效率，结合ECOS求解器实现高效优化。

- 混合布尔型优化设计了二步优化策略以提高带股票数量约束组合优化可行性。

• 已封装python函数集成常用约束，供实际资产管理使用。

- 提示量化模型存在失效风险和极端市场风险[page::0,16]

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三、图表与表格深度解读

图1：交易成本惩罚系数对组合业绩的影响

• 主题：展示中证500与沪深300在不同交易成本惩罚系数$\rho$（0至1）下的月度组合表现指标。

- 数值和趋势：
- 随着$\rho$提高，月单边换手率明显下降（沪深300由55.6%下降到13.8%；中证500由31.1%降至7.5%）。
- 年化收益呈现先升后降趋势（沪深300峰值17.8%约在$\rho=0.4$，中证500约在$\rho=0.4$达到最高12.2%）；
- 信息比先上升后略降，峰值在中间$\rho$值附近；
- 月胜率整体小幅波动，但保持稳定在约75-85%之间。
- 始终持股数量随着惩罚的增大反而增加，解释为高交易成本惩罚减少频繁调仓，持有股票更加稳定。

• 联系论点：验证了适中交易成本惩罚可提升组合耐久性、业绩表现的观点，过高惩罚限制交易对收益带来负面影响[page::3]

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图2：不同风险厌恶系数对组合业绩的影响

• 展示沪深300和中证500增强组合不同$\lambda$值（0-100）对应的收益、跟踪误差、信息比等指标。

- 主要趋势：
- $\lambda$越高，跟踪误差和最大回撤逐渐缩小（例如沪深300跟踪误差由6.6%降至2.92%）；
- 组合收益率随着$\lambda$增加先略升后下降，信息比先上升到峰值再趋于平稳；
- 持股数量随$\lambda$增加显著增多（沪深300平均股票数量从64.7到441.2）

• 突出说明风险与收益的权衡关系，及风险控制对组合分散程度的影响[page::5]

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图3-4：不同风格因子暴露约束下的风险收益特征（沪深300和中证500）

• 三种风格暴露约束分别为：完全行业和市值中性、部分中性（银行、非银完全中性）、无行业市值约束。

- 结果显示：
- 约束越松（无行业约束），组合年化收益最高，但跟踪误差和最大回撤均较高。
- 约束越严，组合风险控制严格，收益和跟踪误差均较低。
- 组合平均持股数随风险厌恶系数和风格限制的放松均上升。

• 该图充分说明风格暴露对组合风险收益范围限制的实证效应[page::6,7]

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图5：不同股票数量约束组合业绩表现

• 对比无约束和不同最大股票数约束条件，沪深300和中证500的年化收益、跟踪误差及信息比分别变化。

- 无约束及适度限制下表现差异较小，过严限额（如沪深300 缩减至50只）会略降信息比和增加回撤。

• 说明股票数限制过低可能损害组合风险调整后收益[page::8]

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图6-9：协方差矩阵结构引入与优化器性能分析

• 表格数据显示，传入因子化协方差结构(S)相比传统完整协方差矩阵(T)优化时间下降极大。

- ECOS优化器性能显著优于SCS，适用于不同约束配置下的优化问题。

• 与国内外优化器对比图表（图7）清楚表明ECOS在中小至大型组合优化问题中具备竞争力。

- 不同参数集（P1至P4）的沪深300和中证500优化用时均维持在秒级以内，保证实用性。

• 统计特征表清晰记录优化时延分布，最大值可能由极端个别情况引起[page::9-12]

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图10-11：混合布尔型优化参数设置及组合表现

• BB算法迭代次数上限(niters)及选股空间比例(n1)不同的对计算时间和收益风险指标影响。

- 结果表明n1较大时收益波动范围更小，niters增加则极值计算时间大幅增长。

• 业绩指标（年化收益、跟踪误差、信息比）对不同参数表现出较高稳定性。

- 结合模型精度调整，优化结果中小权重股票比例明显减少，组合更“清晰”与易于操作[page::13-15]

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图12：指数增强模型具体Alpha因子定义

• 展示了用于沪深300和中证500增强策略中的多类因子体系，包括估值、成长、盈利能力、流动性、投机性、分析师预期等七大类因子。

- 每类因子下列举具体指标及其定义，如BP、EP、RNOA、LNTO、IVOL等。

• 这些因子具体构成了组合优化中的Alpha预测因子$\boldsymbol{r}$基础[page::18]

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四、估值分析

本报告聚焦于投资组合构建优化技术，非单一股票估值，因此未包含传统股票估值方法（如DCF、P/E等），其“估值”即是对组合的风险调整收益进行优化计算。

通过风险厌恶系数$\lambda$调整预期组合收益与风险权衡，实现不同组合的风险收益特征定制。组合优化目标函数中交易成本、风险因子暴露、风格因子暴露、股票数量均作为约束或惩罚指标体现，实现多维度约束下的最优权重配置。

报告中也展示了利用凸优化技术（ECOS求解器）和混合整数规划（Branch-and-Bound）方法处理复杂约束组合优化问题，侧重组合“内在价值”的工程化计算框架与数值实现，而非具体企业估值[page::2,9,13]

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五、风险因素评估

• 量化模型局限于历史数据表现，未来市场环境变化或机制变化可能导致模型失效风险。

- 极端市场情况可能严重冲击模型适应性，造成策略明显亏损。

• 组合优化中涉及的多项约束可能存在冲突，需谨慎设置，防止无解或无法满足关键风险约束。

- 停牌股可能破坏行业市值中性约束的可行性，需特殊处理。

• 交易成本估计不准确可能导致交易成本惩罚参数选取失误，影响组合实现效果。

- 优化算法复杂度和收敛性风险，特别是在大规模混合布尔型组合中，可能导致计算资源浪费或结果不可用[page::0,7,17]

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六、批判性视角与细微差别

• 报告主体基于均值-方差框架，未对MVO潜在缺陷（如对分布假设的敏感性、均值估计不稳定性）做深入质疑，存在一定传统方法依赖偏好。

- 交易成本惩罚系数$\rho$的选取依赖经验和回测，缺乏理论解析基础，可能在不同市场环境表现不同，存在调参风险。

• 风格因子暴露约束建议灵活放宽，然而如何精准设定合理范围仍属主观，存在约束选择的困难与不确定性。

- 优化器性能测试环境限定于Intel i5-2400单线程，未探索多核并行或更高性能硬件场景，限制了结论的通用性。

• 混合布尔型优化采用二步限制空间虽实用，但舍弃全局最优有可能损失部分收益。

- 优化结果中小权重股票减少得益于精度调整，表明现实应用中数值精度调节对组合稳定性和操控性尤为重要。

• 报告提及大量细致参数调试与模型细节，实际落地时对投资者要求较高，可能导致门槛较高。

- 标准化基础较完善，但约束冲突描述提示组合优化模型实际应用需结合业务需求反复调试[page::0-16]

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七、结论性综合

东方证券研究所在本报告中系统回顾并详尽探讨了基于Markowitz均值方差框架的指数增强组合优化模型，并结合实际量化投资运用中遇到的多重约束和参数选择，进行了全面梳理和回测验证。报告通过理论分析与丰富实证数据，深入解析了：

• 交易成本惩罚和换手约束的内在关系和调参机制，验证惩罚系数$\rho$在0.2-0.5区间对沪深300和中证500增强组合最优。

- 风险厌恶系数$\lambda$对风险控制和收益优化的影响，建议沪深300增强调节$\lambda$约为20，中证500为15。

• 风格因子暴露约束对组合风险收益边界的限制作用，推荐根据风险偏好适度放宽避免过度限制。

- 股票数量约束的操作与解法，结合混合整形优化与二步筛选策略，保证大规模组合优化的可操作性与合理性能。

• 协方差矩阵因子化结构引入显著提升计算性能，结合ECOS优化器实现0.6-3秒级全市场组合优化，实用性强。

- 交易成本、风险厌恶、风格暴露、换手约束、股票数量约束及其冲突均得到理论与实证支持，细致调节可达成理想组合配置。

• 通过自研python组合优化函数，将复杂组合优化建模工具化，为行业提供高效投资决策和执行支撑。

各类图表数据均体现上述结论，尤其图1至图5展示了参数对组合换手率、收益、风险等关键指标的影响与优化效果，图6至图11则明确展示了协方差结构输入及优化算法的高效实现路径和实测性能。

整体而言，该报告为量化投资组合优化提供了系统性理论和实务方法论，结合先进算法工具，极大推进了全市场指数增强策略的成熟与应用，提示了潜在风险及模型局限，为投资经理、量化研究人员在组合优化领域的决策提供了科学依据及实用工具支持。[page::0-18]

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以上内容完整涵盖了报告的所有重要章节及数据图表，提供了详细的逻辑化解读；结合表格数据与理论介绍，为读者清晰呈现了组合优化的核心机制、参数选择和计算实现细节。

报告