研究框架与目标概述 [page::0][page::1]

• 本文统一描述了单一证券交易、市场中全部证券交易及市场投资组合交易的收益和风险，提出三者可以用相同的方法建模。

- 明确指出Markowitz方差模型假设交易量恒定，这在真实市场交易中并不成立，导致估计偏差。

市场基础方差建模与数学推导 [page::5][page::7][page::8][page::9]

• 通过对交易价值和成交量进行标准化处理，构建时间序列，进而定义市场组合收益及其方差的市场基础度量。

- 方差公式引入了交易量的变异系数（$\chi$）和价值变异系数（$\psi$），反映随机交易量的影响，修正传统模型。

• 通过Taylor展开展示市场基础方差是Markowitz方差的推广，交易量的随机性可导致风险被低估或高估。

投资组合均值收益与市场交易均值收益差异分析 [page::9][page::10]

• 分析了投资组合当前持有期望收益与市场总体交易期望收益因成交量比例变化而产生的区别。

- 若当前交易相对量与持仓比例不一致，则两者收益存在显著差异，影响投资者实际收益预期。

市场组合方差与市场全部交易方差的比较及简化模型分析 [page::11][page::12][page::13][page::24][page::25]

• 讨论两者方差表达式及其差异，提出Markowitz方差忽视交易量随机性是简化假设。

- 通过两个证券的玩具模型，展示市场组合方差可能比全部市场交易方差大3倍或更小，具体依赖于份额及交易量结构差异。

averaging interval 的关键影响与预测难题 [page::15][page::16][page::17]

• averaging interval 时长需使得交易量远大于持仓份额，避免因大宗抛售干扰估计结果，短周期评估可能误导决策。

- 预测收益与风险依赖于对高频交易价值和量的宏观经济预测，交易量的随机与市场复杂性限制了预测精度。
| 参数 | 描述 |
|-------|--------------|
| $\psi$ | 交易价值的变异系数（波动强度） |
| $\chi$ | 交易量的变异系数（随机性强度） |
| $\varphi$ | 交易价值和交易量间的协方差比率 |

结论与投资策略启示 [page::18][page::19]

• 市场基础方差提供比传统马克维茨方差更准确的风险评估。

- 投资组合管理者应关注交易量随机性及其对风险测度的影响，并合理设定审视周期。

• 预测市场组合收益与风险需要结合宏观经济变量，现有评级工具（如Aladdin）需整合更强预测模型。

金融研究报告详尽分析

报告标题： Market-Based Variance of Market Portfolio and of Entire Market
作者： Victor Olkhov
发布机构： Independent, Moscow, Russia
联系方式及标识： victor.olkhov@gmail.com ，ORCID: 0000-0003-0944-5113
主题领域： 市场投资组合的市场方差、交易量随机性影响、资产组合风险测度方法
关键词： market-based variance, market portfolio, random market trades
JEL分类： C0, E4, F3, G1, G12

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1. 元数据与报告总览

本报告通过数学建模形式提出了一个统一的市场基于交易数据的收益率与方差描述框架，涵盖单一证券、整个市场中所有证券的交易及投资者持有的市场投资组合的表现。核心论点在于，标准的Markowitz（1952）投资组合方差模型隐含的是交易量恒定的简化假设，忽略了实际交易量的随机波动性对方差的影响。作者构建了含交易量随机性的新方差模型——市场基于交易量波动的方差描述，显示该市场基于方差普遍较Markowitz的估算更为准确，也存在显著区别。
投资者若不交易自持投资组合，应通过观察当前市场的证券交易时间序列，运用归一化方法转换为“单一证券”的时间序列，并用新的框架估计组合收益和风险。
此外，报告强调了观察与计算所依据的时间平均间隔对方差、收益的估计准确性的重要制约，以及宏观经济复杂性对基于交易数据收益率预期准确性的限制。

主要信息传达：

• 传统Markowitz方差是一种恒定交易量的逼近模型，易忽略交易量波动的影响；

- 引入具体市场交易量数据的随机性因素，构建市场基于的方差模型，对现实市场更贴切；

• 统一框架支持对任意投资组合基于市场交易的收益与风险测度；

- 分析市场组合方差与全市场所有交易方差的区别，揭示潜在风险低估问题；

• 强调系统性影响因素包括市场交易结构、投资时间窗口和宏观经济复杂性限制预期准确性。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言 (章节1)

• 作者指出市场投资组合的重要性被广泛认可，但有关市场投资组合的方差和收益测算还存在被忽视的细节：

- 标准Markowitz方差表达式（式1.1）是基于投资组合中证券权重和证券收益协方差矩阵的二次型表达。

• Markowitz模型隐式假设所有交易的交易量均恒定，这被Olkhov等人的系列工作指出是对市场真实交易情况的简化（实际交易量呈随机波动）。

- 本文致力于构建反映交易量随机波动影响的市场基于方差模型，比较其与传统Markowitz方差的差异。

• 研究情景假设投资者自持的市场投资组合不交易，观察当前市场交易数据，并将市场交易序列转换为模仿单一证券的等效序列，从而统一描述不同层面的收益与方差。[page::1]

2.2 市场及市场投资组合基础记号 (章节2)

• 报告定义整市场为拥有$J$种证券，假设从参考时间点 $t0$ 起每种证券的上市股票数量不变。

- 股价 $pj(t0)$ 与股票数量 $W{m j}(t0)$ 决定该证券在市场的市值 $Q{m j}(t0) = pj(t0) W{m j}(t0)$。

• 总市场市值 $Qm(t0)$ 为所有证券市值之和，合计股票数 $Wm(t0)$ 也是固定。定义市场均价为 $sm(t0)$，满足 $Qm(t0) = sm(t0) Wm(t0)$。

- 证券 j 在市场的相对市值权重定义为 $Xj(t0) = \frac{Q{m j}(t0)}{Qm(t0)}$。

• 投资者在 $t0$ 时刻组装市值为 $Q\Sigma(t0)$ 的市场组合，该组合的证券份额 $Wj(t0)$ 与该证券在整个市场中的市值占比成比例。

- 组合整体价格亦为加权平均价格（VWAP），且该组合衣继承了市场整体的价格结构。

• 实时交易序列定义：以均一的、短时的步长 $\varepsilon >0$ 观察市场证券的交易价格、交易量，采样期为 $\Delta = N\cdot \varepsilon$，用于计算平均成交价、成交量等指标。

- 该部分为后续变换与计算提供了完整的数学符号体系及市场组合基础。[page::2][page::3][page::4]

2.3 投资组合交易模拟为单一证券交易 (章节3)

• 通过引入比例因子 $\lambdaj = \frac{Wj(t0)}{U{\Sigma j}(t)}$，将每个证券在市场的实际成交量交易数据归一化（即调整值和量），使得归一化的交易总量等于组合持有量。

- 各证券归一化后的交易价格不变。

• 汇总所有证券归一化交易数据获得模拟的组合单一证券交易序列 $(Q(ti), W(ti))$。

- 这一转换使投资者能直接用市场整体的成交数据，估计其已组装且不变的组合的表现。

• 组合当期交易总量固定为 $W\Sigma(t0)$，组合的模拟交易均价可看作该虚拟单一证券的VWAP。

- 该段阐述基于实际市场交易数据构造组合收益统计的具体方法。[page::5][page::6]

2.4 整体市场交易归纳为“单一证券”交易序列 (章节4)

• 本节采用累加方法，将市场所有证券在采样间隔内的交易价值和交易量汇集，构成市场整体交易序列 $(Cm(ti), Um(ti))$，并定义对应的价格 $sm(ti) = \frac{Cm(ti)}{Um(ti)}$。

- 总交易价值和交易量分别为所有证券对应的和，定义对应的市场价格时间序列VWAP。

• 当前市场中各证券交易在总交易中的相对比重 $Xj(t), xj(t)$ 随时间可发生变化，且通常不同于投资者初始组合中的对应比例。

- 因此，市场整体的“单一证券”交易价格序列与模拟组合价格序列存在差异，即存在组合价格与市场实时交易价格的区别。

• 直接导致市场交易收益与投资组合收益测算存在差异的根源。

- 这一差异的存在对投资者和组合管理者有重要警示意义。[page::6][page::7]

2.5 收益率及方差建模 (章节5)

• 定义序列证券 $j$ 和市场交易、组合交易的随机收益率及均值收益率。

- 采用“总收益率”（gross return）定义为当前价格与基期价格之比，方差与传统收益率方式等价。

• 通过交易值$Cj(ti)$和交易量$Uj(ti)$的统计描述，计算满足交易量随机波动的市场基于方差（式5.2），兼顾成交值和成交量的变异性指标，表达式中引入了值和量的变异系数 $\psij, \chij$ 及协方差比率 $\varphij$。

- 类似地，对整个市场交易（作为单一证券）和投资组合交易概率模型分别定义收益及方差，均延续上述统计描述方法。

• 该方法相较Markowitz仅基于价格的协方差矩阵，综合体现了交易量的随机波动特征，更接近市场真实风险状态。[page::7][page::8][page::9]

2.6 投资者意愿与市场现实的差异 (章节6)

• 传统投资理念期待持有的市场组合收益能够匹配且风险类似于整个市场。

- 然而，组合持有的证券份额是固定的，而市场交易中各个证券的成交比例可能时变，导致均价收益和方差估计发生偏离。

• 公式（6.6）量化了投资组合收益与当期市场交易收益的差异，差异源于证券当期交易结构权重与组合持仓权重不一致。

- 方差方面，作者采用Taylor展开发掘随机交易量系数$\chi$对方差估计的影响，发现Markowitz方差只为零阶近似（$\chi=0$），忽略随机交易量波动。

• 该分析揭示实际市场波动可能被传统模型严重低估或误判。[page::9][page::10][page::11][page::12][page::13]

2.7 简化极限条件分析与案例模型 (章节7 + 附录D)

• 在无协方差条件下，市场基于方差可近似写为价格方差与交易量方差的组合（7.2，7.3式），发现交易量变异可显著提高投资组合方差。

- 通过仅含两证券的极简模型示例，说明Markowitz方差与市场交易方差存在显著差异，且在特定配置下方差可能被低估或高估数倍。

• 分析明确了市值权重与交易量权重的结构性差异对方差和风险估计的作用机制。

- 简单模型强调了交易量随机性对风险测算的关键影响，损害基于历史平均交易量的传统风险管理框架的有效性。[page::13][page::14][page::23][page::24][page::25]

2.8 交易窗口长度和预测问题 (章节8)

• 平均时间窗口$\Delta$的选择至关重要：太短则交易量不足以形成可靠统计，估计偏差大；太长可能丧失对实时市场状态的追踪能力。

- 标准实践中，投资组合持仓量占对应证券总成交量的比例不宜超过3-5%，否则卖出操作会显著扰动市场，导致估计失效。

• 举例Apple股票，说明想通过交易量覆盖所有持股的时间长度极长，实际交易行为和市场估值机制存在差异。场外交易（OTC）部分解决了大额股份转让，但市场价格估计仍依赖交易所现有数据。

- 预测收益和方差通过对成交量和成交值的时间序列外推和建模，依赖宏观经济状况的准确预判。

• 成交量的波动性和宏观经济复杂性严重限制了收益预测的准确性。

- 归纳指出当前预测模型普遍隐含交易量恒定假设，忽略了实际市场波动性，是预测能力低下的根本原因。

• 建议利用不同时间尺度的聚合时间序列改进市场数据的分析，但宏观经济的不确定性本质制约了整体预测框架的性能。[page::15][page::16][page::17][page::18]

2.9 结论 (章节9)

• 提出统一描述了单个证券、市场整体和市场组合的交易收益率和风险的市场基于模型。

- 明确指出经典Markowitz模型为零阶近似，忽略交易量波动，该文模型可补充并完善风险估算。

• 投资者和组合经理应重视基于观测交易数据的平均收益和风险估计对时间窗口的敏感性及局限，避免短视偏误。

- 宏观经济复杂性和交易波动性共同构成未来收益方差预测的不可逾越的限制。

• 预言未来高级算法（如作者比喻的“Divine Augur”）应被开发以提升宏观经济及市场预测能力。

- 该研究为理解和量化因真实市场交易量不稳定性所引发的组合风险测量误差提供了理论基础及初步方法。[page::18][page::19]

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3. 图表与公式深度解读

本报告中，核心图表以明确的公式表达体现，形式以各章节中的数学表达为主，具体如下：

3.1 经典Markowitz投资组合方差公式 (公式1.1, 6.9, B.8)

$$
\theta{M}(t,t0) = \sum{j,k=1}^J \theta{jk}(t,t0) Xj(t0) Xk(t0)
$$

• 描述： 描述持有权重为 $Xj$ 的组合收益率方差，以证券收益率协方差矩阵 $\theta{jk}$ 权重加权得出。

- 解读数据和趋势： 该公式假定各证券的权重固定不变，交易量恒定，忽略交易动态性。

• 联系文本： 作者指出这表述为零阶近似，不反映交易量的随机变化影响。

- 潜在局限性： 隐含交易量恒定假设，无法反映当期交易结构或成交量变化对组合风险的修正。

3.2 市场基于方差表达（公式5.2, 5.8, 5.11，A.8）

$$
\thetaj(t,t0) = \frac{\psij^2 - 2\varphij + \chij^2}{1 + \chij^2} Rj^2(t,t0)
$$

其中，

• $\psij^2$ 是成交值的变异系数平方，

- $\chij^2$ 是成交量的变异系数平方，

• $\varphij$ 是成交值和成交量的归一化协方差，

- $Rj(t,t0)$ 是相对于起始时刻的收益率。

• 描述： 根据高频交易数据中成交值和成交量的统计特性，建立考虑交易量波动性影响的方差模型。

- 数据趋势： 当成交量变化大时，$\chij$ 增大，模型体现更高风险；反之，当交易量恒定时趋向简化形式，仅由价格波动贡献方差。

• 联系文本： 支撑作者提出的Markowitz方差忽略交易量波动是现实偏差的论点。

- 评论局限性： 需要对高频交易数据中的值和量进行统计估计，若样本过少或数据异常可能影响估计准确度。

3.3 交易量变异对方差的Taylor展开(公式6.8, 6.11)

$$
\theta(t,t0) = \thetaM(t,t0) - 2a \sqrt{\thetaM(t,t0)} R(t,t0) \chi + [R^2(t,t0) - \thetaM(t,t_0)] \chi^2
$$

其中 $a \in [-1,1]$ 相关于成交值和成交量的协方差度量。

• 描述与趋势： 这表达通过Taylor展开体现成交量变异 $\chi$ 对市场基于方差的修正，显示了线性与二次项对Markowitz方差的修正。

- 联系文本与结论： 标明Markowitz方差是$\chi=0$时的零阶模型，实际市场成交量波动显著，修正项不可忽视。

• 限制及复杂度： Taylor扩展依赖于协方差估计，精度依然依赖数据质量，高阶项被忽略。

3.4 简单模型案例数据（附录D）

• 场景: 仅两个证券，持仓比例及交易比例不一致。

- 结果: 通过数值例子展示相对方差估计可相差3倍以上，风险可能严重被低估或高估。

• 说明: 非常直观地表明市场交易结构异于静态持仓份额时，方差计算尤为不准确。

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4. 估值分析

本报告主要集中在风险（方差）测量的理论建模，未涉及传统的公司估值指标或估值方法（如DCF、P/E等）。不过，其提供的市场基于方差模型实际能作为资产定价模型中风险参数的改进部分，间接影响估值模型参数设定。作者明确提出：

• 市场基于的方差应替代或修正Markowitz方差用于风险估计。

- 通过高频交易数据到结果风险的映射模型为估值模型提供更可靠的输入。

• 强调市场流动性和成交结构变化对风险参数的影响，这对估值模型依赖的波动率和协方差矩阵构建至关重要。

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5. 风险因素评估

报告明确揭示了多种风险和限制因素：

• 交易量随机性风险： 经典模型对成交量假定恒定，实务中交易量大幅波动，导致风险潜在低估。

- 时间窗口选择风险： 平均间隔不恰当导致对收益与风险的估计偏差大，影响投资决策。

• 市场扰动风险： 当投资组合规模占据市场交易量较大时，卖出行为本身扰动价格，形成自我强化波动，损害评估准确。

- 宏观经济不确定性风险： 宏观因素影响公司业绩及市场交易行为，限制了对未来回报和风险的准确预测。

• 模型假设偏差风险： 交易归一假设与实际市场动态的差异可能导致模型失效或预测误差。

风险缓解主要依靠：

• 合理选定平均窗口，使持仓规模远小于总交易量；

- 改进数据采集与建模技术，提高成交量及其变异性的监测能力；

• 结合宏观经济预测提升模型动态适应能力。

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6. 批判性视角与细微差别

报告客观扎实，但基于报告内容，以下细节值得关注：

• 报告假设投资组合持仓恒定，不考虑主动交易或调整策略，忽视动态再平衡可能对风险的影响。

- 模型依赖高频交易数据统计，市场微观结构噪音、异常交易可能引入误差。

• 假设证券价格与交易量的协方差线性关系（参数 a ），简化了实际市场中可能的非线性复杂性。

- OTL及大额私下交易对市场价格形成的实际影响未充分建模。

• 预测未来宏观变量与成交量时，报告仅泛泛指出难度，缺少具体方法论指导。

- 报告中部分数学表达、符号在转述时存在不完全清晰（尤其部分复杂公式），需在应用时仔细核对。

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7. 结论性综合

Victor Olkhov的这篇报告系统构建了一个基于市场实际交易数据（特别是随机成交量）的收益率与方差估计新框架，提出了相较于传统Markowitz模型更为精确的市场基于方差计算办法。

关键发现包括：

• 传统Markowitz投资组合方差模型隐含假设了恒定交易量，忽略了交易量随机性，导致风险估计可能严重偏离真实市场风险。

- 通过交易量及成交值的统计变异系数同时考虑，作者提出的市场基于方差模型呈现出更为复杂而真实的风险衡量结果。

• 投资组合收益率与市场整体交易收益率存在统计结构上的深刻区别，这反映在证券成交量等权重时变，直接影响组合表现评估。

- 交易量随机变动的影响可使得组合风险显著增加，且方差的修正量与成交量变异系数平方成正比。

• 不同证券成交量权重结构导致基于Markowitz的方差估计与实际市场交易风险可能产生数倍的差异。

- 平均交易时间窗口的长度对风险度量的准确性至关重要，不合理的窗口长度会导致估计失效。

• 预测组合收益及风险本质难题归结为宏观经济变量与其对市场交易行为的复杂影响。预测精度受限于宏观经济变量本身的复杂及不确定性。

报告中的主要数学表达均在附录中得到了严谨推导和说明，增强了理论基础的严密性。特别是附录A、B和C详细揭示了市场基于方差的计算原理及其与Markowitz方差的具体关系。附录D中的玩具模型更形象说明了理论差异对实际风险测度的深远影响。

总结而言，报告强烈提示金融研究及投资实践者需重新审视基于历史收益和协方差矩阵的传统风险模型，考虑高频交易数据特别是交易量变异的影响。同时，宏观经济复杂性设定了所有量化风险预测的理论上限。未来更精细和宏观结合的预测方法，如作者提及的“Divine Augur”式系统，将是提升预测能力的必由之路。[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26]

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结束语

本文从交易量视角拓展了投资组合风险评估的经典框架，提供实用且理论严谨的分析工具，对金融资产管理、风险控制及市场微观结构研究均具有深远意义。投资者和研究者应重视市场交易随机特性的影响，结合宏观经济前景，理性判断和调整风险管理策略。

报告