研究背景：集中式与去中心化风险池对比 [page::0][page::1]

• 传统保险是风险集中转移，由保险公司承担风险，周期内收取保费并设资本准备；

- 去中心化风险池则由参与者共同承担损失，无需额外偿付资本，保费替换为事后贡献，满足全额分配条件；

• 本文推广补偿基风险分摊理论，覆盖更广泛的随机损失情形。

补偿基风险分摊机制核心框架 [page::2][page::5]

• 参与者及管理员分别投入初始资金$\pii$，共同建立风险基金；

- 补偿随机向参与者和管理员分配，管理员作为“活跃管理员”在所有参与者补偿为零时获得所有基金收益；

• 补偿比例满足全额分配，即所有分配比例总和为1，且管理员的补偿与参与者补偿互斥；

- 定义了补偿向量和相对补偿向量，构成风险分摊方案的数学基础。

典型风险分摊方案及示例 [page::7][page::8][page::9]

• 参与者基于其损失大小按比例获得补偿，管理员获得无损失情形下的基金；

- 生存者分摊型方案（Tontine）用指标变量描述存活状态，多个方案设计了权重$fi$以调整参与者权益分配；

• 举例包括顺序统计补偿和一般函数形式补偿，为理论提供多样具体模型。

精算公平性定义及性质 [page::11][page::12][page::13]

• 精算公平定义：参与者初始投资等于其所期望补偿的数学期望；

- 对参与者和管理员均需满足相应条件，推导出三组等价且相互蕴含的精算公平条件；

• 若管理员无投资，则不可能使所有参与者精算公平；

- 引入独立同分布假设下管理员投资趋于零，参与者投资趋于公平分摊。

风险分摊规则及其同质性缩放性质 [page::15][page::16]

• 研究风险分摊规则的缩放不变性：投资向量乘以常数，补偿比例不变，满足策略稳定性；

- 推导精算公平投资向量存在无限个倍数解，非唯一；

• 示例应用于具体损失分布和Bernoulli生存变量，验证理论的稳健性。

被动管理员下的风险分摊方案及精算公平性 [page::20][page::21][page::22]

• 被动管理员不参与投资，且零补偿获得时返还各参与者原始投资；

- 设计补偿方案同时满足全额分配和参与者精算公平；

• 证明被动管理员精算公平条件与主动管理员方案下参与者的投资条件等价。

两参与者Tontine基金实例及精算公平条件 [page::24][page::25]

• 建立两参与者及管理员的补偿方案，确定生存概率差异下投资和分配比率；

- 通过概率分解计算期望补偿，给出精算公平投资的三种计算公式；

• 结合实际例子（硬币骰子游戏）进行数值验证。

均质Tontine基金及其与集中保险的关系 [page::28][page::30]

• 均质情形下参与者投资相等，管理员投资依精算公平条件确定；

- 证明当参与者数趋于无穷大时，分摊支付收敛为集中保险纯保费支付；

• 主动和被动管理员模式均趋近传统保险机制，揭示风险分摊方案的极限性质。

结论主题概述 [page::31][page::32]

• 提出了包含主动和被动管理员的通用补偿基风险分摊模型；

- 推导了精算公平投资条件和互斥补偿结构；

• 系统分析了典型风险分摊机制及其大样本极限行为；

- 为开发新型去中心化保险产品提供理论支撑及应用示范。

金融研究报告详尽分析报告

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1. 元数据与概览

标题： Compensation-based risk-sharing
作者： Jan Dhaene, Atibhav Chaudhry, Ka Chun Cheung, Austin Riis-Due
发布时间： 2025年10月23日
研究主题： 本文研究一种基于补偿的风险分摊机制，集中于风险共享规则中端owment contingency fund（备用金基金）的收益分配问题，涵盖主动与被动管理员两种模式，探讨其精算公平性。
核心论点：

• 提出基于补偿的风险分摊规则，满足全额分配条件。

- 区分“主动管理员”（投资且在无赔付时分得基金）与“被动管理员”（仅执行管理任务、无投资且不参与分配）。

• 扩展先前研究，允许一般非负损失分布，不限于伯努利分布。

- 通过数学严密的框架，分析精算公平的实现条件。

作者意图传达的是建立一种更广泛适用的风险共享框架，平衡参与者权益与管理员角色，支持去中心化保险创新如P2P和tontine机制，兼具理论与实际的分析价值。[page::0][page::1][page::2]

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2. 逐节深度解读

2.1 中央化与去中心化风险分摊（第1节）

关键论点：

• 传统保险为集中式风险转移，由保险公司承担总风险，收取保费并设置偿付能力资金以应对赔付需求。

- 去中心化风险共享不依赖中央保证人，风险在参与者池内共享，避免偿付风险。

• 去中心化形式包括贡献基础和补偿基础两种方案。

- 贡献基础方案下，赔付时刻参与者负担赔款，且全额分配（即赔款总额等于贡献总额）。

• 补偿基础方案中，参与方提前投资备用基金，赔付时根据函数决定分配比例，可能部分或全部赔付，甚至超出损失，资金分配满足全额分配。

推理依据及假设解释：

• 该文回顾并延伸前人的定义，如Denuit及Dhaene等，强调全额分配保证了基金确实能覆盖风险，无偿付缺口。

- 强调不同风险共享机制的数学构建，尤其两点分布扩展到任意非负分布。

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2.2 补偿基础风险分摊及主动管理员（第2-4节）

关键论点：

• 主动管理员参与投资，且当所有参与者均无赔付时，获得基金全额。

- 定义补偿随机变量 \(Wi\)，与投资额 \(\pii\) 和比例随机变量 \(Pi\) 关联，满足全额分配条件 \(\sumi Pi=1\)。

• \(P{n+1}\) 为管理员获得全额的指标函数，与参与者赔付相互排他（互斥事件）。

- 定义了补偿基础风险分摊方案的形式化数学描述和标记符号，建立严密模型。

推理及数据点：

• 设定投资和赔付的时间点（0代表投资时，1代表赔付时）。

- 互斥性质确保管理员赔付与参与者赔付不重合。

• 提出的定义兼容过去文献，保证模型广泛且一般化。

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2.3 补偿基础风险分摊示例解析（第3节）

关键数据与分析：

• 示例1：赔付比例与损失比例相同，管理员全资得当所有参与者损失为零时，分配比例总和为1且互斥，保证资金分配有效。

- 示例2：生存事件指标作为赔付依据，权重\(fi\)调整，每单位保护份额的赔付均等，并体现异质性生存概率；类似tontine机制。

• 示例3：赔付比例依据损失的顺序统计量分配，体现风险承担能力排序原则。

- 示例4：赔付依赖损失向量随机函数，实现对实际损失场景的灵活映射。

联系文本结论：

• 各例进一步阐释风险分摊的构造灵活性，支持不同保险类型和风险性质。

- 体现了该补偿机制兼容多种风险配置，同时凸显主动管理员的核心作用。

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2.4 精算公平性与投资合理性（第4节）

定义及条件：

• 精算公平意味着参与者的预期赔付等于其投资金额，管理员同样要求投资与预期收回相等。

- 公式形式：\(\pii = E[Wi]\)，扩展至管理员。

• 引入投资与相对赔付比例\(E[Pi]\)的固定比例关系。

重要推论：

• 精算公平参与者必同时保证精算公平管理员。

- 若管理员投资为零，则必有至少一参与者投资高于其预期赔付（不公平）。

• 提供多重等价条件（投资空间的三种参数化形式），方便模型结论检验与实际操作对接。

说明复杂概念：

• 精算公平是合同层面的无套利公平，即没有参与者群体平均上亏损或者获利。

- 互斥随机变量的概念确保了赔付互相排除，便于分配计算。

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2.5 风险共享规则与规模不变性质（第4.2节）

关键观点：

• 定义补偿规则满足规模不变性（indifference property）：赔付比例\(P\)不随投资规模的线性放大而改变。

- 结论是，若某投资向量\(\pi^*\)对应方案精算公平，则其任意正比例放大也精算公平。

• 说明精算公平投资的比例性：绝对投资水平不唯一，但比例固定。

示例解析：

• 例5中的赔付按损失比例分配规则满足规模不变性，故只需找一组解，其正比例倍数即所有精算公平投资。

- 例6和例7扩大讨论，用伯努利指标变量模拟生存事件，明确参与人员不同生存概率影响投资配置。

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2.6 被动管理员及其平价风险共享规则（第5节）

定义差异：

• 被动管理员不参与投资亦不享受赔付，但在参与者赔付均为零时，参与者退回原始投资。

- 被动管理员方案中，参与者赔付包括：正常风险分摊部分 + 未赔付时投资返还部分。

公平性条件变化：

• 精算公平条件调整，新增返还机制保证无投资管理员方案的公平性得以实现。

- 证明若基于同一初始投资，精算公平的主动管理员方案与对应被动管理员方案对参与者的期望赔付相等。

实际案例备注：

• 被动管理员方案修补了传统tontine资金不返还导致的期望不公平问题，但被批评违背传统tontine的实质精神。

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2.7 具体案例：双参与者tontine基金（第6节）

模型设定：

• 两位参与者及一位管理员，分别投资\(\pi1, \pi2, \pi3\)，分别存活概率\(p1, p2\)。

- 生存状态指标\(Ii\)构成赔付分配核心。

• 相对赔付按生存及固定分享比例\(\beta\)分配。

重要定理与计算：

• 根据条件概率及互斥状态，计算参与者与管理员的期望赔付\(E[Pi]\)。

- 通过三种表达形式（全部投资额、参与者投资总额、管理员投资额）表达精算公平投资分布。

• 给出例子（硬币和骰子游戏）具体概率背景下参数计算。

被动管理员版本：

• 生存赔付加返还机制，精算公平条件调整为参与者本金比例的解析式，管理员投入为零。

- 相当于主动管理员版投资减去管理员部分。

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2.8 同质性tontine基金及其与集中保险的比较（第7节）

主旨：

• 研究参与者生存概率独立同分布（i.i.d.），保护单位相等。

- 证明参与者投资金额相等，且管理员的投资依生存不到概率设置。

• 当参与者数量趋于无穷大时，tontine赔付接近集中保险赔付，管理员投资趋于零，实现风险分散同等效果。

- 被动管理员同样收敛于集中保险解。

重要概念解析：

• 演绎过程中，采用“几乎必然收敛”的极限定理，说明大规模风险池的保险费率和赔付模式近似传统保险，支持自治性风险池的经济合理性。

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2.9 结论（第8节）

总结论点：

• 全面模型框架，定义了主动/被动管理员补偿型风险共享方案。

- 导出了精算公平条件和适用解法。

• 具体现实案例（双人tontine，均质群组）应用验证，理论与实践结合。

- 标注了主动管理员可避免传统tontine遗嘱福利和道德风险问题。

• 证实在大规模条件下，风险共享机制趋向传统保险方案，具备市场推广潜力。

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3. 图表深度解读

本报告主要以数学表达式、定义与推理方式展开内容，未包含可直接渲染的图形或表格，而是通过公式和示例展开论述。以下对关键数学表达式和模型结构进行详细解读：

3.1 赔付定义与互斥结构

• 赔付向量定义：

\[
Wi = \left( \sum{j=1}^{n+1} \pij \right) \times Pi, \quad i=1,\dots,n+1
\]
说明赔付为整体基金的比例拆分。

• 管理员赔付为互斥事件指示变量：

\[
P{n+1} = 1\left( \sum{j=1}^n Pj = 0 \right)
\]
管理员仅当参与者赔付均为零时获得资金，形成严格排他结构，这保证资金清晰且分配合理。

3.2 精算公平条件关系

• 对所有参与者及管理员的公平投资关系：

\[
\pii = \left( \sum{j=1}^{n+1} \pij \right) \times E[Pi], \quad i=1,\ldots,n+1,
\]
或等价形式依据参与者与管理员资金分布概率调整。

• 这种等式反映了参与者的投资与整体基金规模及赔付期望成比例，保证无套利。

3.3 规模不变性与多解性质

• 规模不变（indifference）性质确保赔付比例与投资规模成线性关系，如投资放大一倍，赔付相应放大一倍。
• 由此导致精算公平投资解为线性空间，存在正比例无穷多方案。

3.4 彩票游戏及双参与者模型案例公式

• 利用生存概率计算预期赔付：

\[
E[P1] = p1 \times (q2 + \beta p2), \quad E[P2] = p2 \times (q1 + (1-\beta) p1), \quad E[P3] = q1 q2,
\]
结合总投资比例形成投资分配公式（方程组）。

• 用于设计合理投资与赔付分布，体现参与者健康状态和风险承受差异。

综上，尽管报告无纯图形，本报告体系丰富的公式表达实现了风险分配的清楚传递与验证。

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4. 估值分析

报告本质涉及风险分摊机制与风险分配数学问题，未直接涵盖传统意义上估值模型（如DCF、市盈率等），但包含某种“价值平衡条件”，对应于投资与预期赔付的平衡：

• 核心估值原则：初始投资额\(\pii\)对应于参与者期望获得赔付\(E[W_i]\)，达到不亏损也不获利的平衡点。

- 割裂价值理论与风险承担分配：参与者及管理员的初始资金集聚，成为风险基金的实物/货币基础。分配方案体现在对该资金的随机重新分配上。

• 通过精算公平条件和投资比例关系，解决风险基金的“估值”与“可持续性”问题。

因此，估值分析更多表现为投资-赔付的期望均衡关系，而非传统企业或资产价值模型。

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5. 风险因素评估

报告中隐含的风险因素包括：

• 生存/损失概率模型假设错误：与参与者预期风险差异会导致实际赔付偏离预期，影响精算公平。

- 参与者行为风险：参与者可能调整行为以获取优势，尤其被动管理员方案中出现道德风险（如无继承权激励问题）。

• 管理员角色风险：主动管理员权益保留，有激励管理基金，但可能存在利益冲突；被动管理员无投资，存在责任缺失。

- 有限参与者数风险：小规模池容量限制，导致风险难以有效分散，赔付波动大。

• 模型假设局限：独立性、均匀性、固定比例的假设在现实中不总成立，可能影响公平性和稳健性。

报告部分提及这些风险的应对机制，如全额分配条件保证资金池不破产，主动管理员设计减轻部分道德风险问题。

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6. 批判性视角与细微差别

• 对主动管理员的依赖：理论上，主动管理员的参与有助于现实中解决传统tontine遗嘱及激励问题，但这引入了管理者的额外角色和风险，或许偏离初衷的去中心化理念。

- 假设强度：互斥赔付结构、投资比例的线性性、参与者独立生存概率等，现实中难以完全落实。

• 规模依赖性：规模越大趋近保险模式，规模小则模型的不确定性和偏差大，实际运用限制较大。

- 模型内的灵活性与复杂性：多种参数选项提供灵活空间，然而也可能导致多解且管理难度增加。

• 主动与被动管理员之间潜在矛盾：报告揭示两者在设计原理与精算公平实现上差异显著，使用时的选择和理解需要谨慎。

总体看，报告虽全面严谨，但应用层面需结合实际数据与社会结构调节以上问题。

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7. 结论性综合

本研究系统地构建了基于补偿的风险分摊框架，区分主动与被动管理员，解析了初始投资与赔付分配之间的精算公平条件，涵盖理论、示例与实际案例。核心发现与见解包括：

• 全额分配原则和互斥赔付结构确保风险池资金始终覆盖赔付承诺，系统无偿付缺口。

- 主动管理员方案通过拥有无赔付时基金全额权利，以投资方式加入风险分摊，促进风险均衡和激励兼容，解决传统tontine遗嘱福利缺失问题。

• 被动管理员方案则在无赔付时归还参与者本金，在保守性的同时可能削弱风险共享的核心机制。

- 精算公平条件严谨表明，参与者与管理员的投资金额应与其期望赔付严格匹配；此平衡条件通过易于理解的比例式表达，并支持多解（因规模不变性）。

• 示例应用（双参与者模型、同质tontine）体现具体定量配置，阐明风险分散与投资配比的实际操作路径。

- 当参与人数增大，流程收敛于传统集中保险方案，验证理论与传统保险的内在联系。

综上，该报告不仅拓展了风险分摊模型的理论层面，更为去中心化保险与众筹型风险管理提供了数学基础及实务指导。作者最终强调其研究对理解、设计及实施新型保险产品和风险共担机制的重要作用。[page::31][page::32]

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总结

本报告详细解构了作者建立在数学理论基础上的补偿型风险分摊机制，呈现其定义、作用机制、精算公平、管理员角色差异及核心数学特性。通过丰富的例子和严谨的定理，构建一套既理论完善又具实践启示的风险共享新框架。特别是对tontine基金的主动与被动管理员方案，深入探究其投资/赔付关系及与传统保险的比较，有效衔接理论与应用，具有显著的创新价值和市场潜能。

报告