模型架构与竞赛设置 [page::1]

• 竞赛分为两阶段：阶段1为游泳后继续或退出决策，阶段2为自行车和跑步阶段的Tullock竞赛。

- 游泳拉水比例 \(Di\) 影响竞赛努力的有效成本，通过乘数 \(\psii\) 调整成本参数 \(ki = ci/\psii\)。

• 运动员的胜率定义为加权努力比 \(\frac{wi ei}{\sum wj ej}\)，成本为二次型。

阶段2均衡分析与闭式解 [page::2][page::3]

• 两人竞赛中，均衡胜率和努力可用封闭形式表达，努力随奖赏\(\Deltai\)和拉水乘数\(\psii\)升高而增加，随成本\(ci\)下降。

- 多人竞赛存在唯一均衡，总努力\(E^\)由标量方程隐式定义，保证解的唯一性和连续性。

• 努力随游泳拉水效应增强，奖赏增加而增加，随成本增加而降低。

阶段1继续决策与参与集合的均衡特征 [page::4]

• 运动员根据游泳状态变量和阶段2收益对比退出收益，形成个体游泳拉水乘数的阈值\(\psii^\)，高于该阈值则选择继续。

- 存在子博弈完美均衡（SPE）保证，参与集合通过递归的策略删除逐步确定。

• 奖赏越高阈值越低，成本越高阈值越高；群体越大，阈值倾向升高。

游泳拉水效应的成本转移机制 [page::5]

• \(\psii = 1/(1 - \eta Di)\)，线性减少努力成本。

- 拉水提升有效努力能力，纳入模型后影响运动员竞赛激励和参与意愿。

社会福利与租金分配 [page::5]

• 总效用为所有运动员期望利润和努力成本之和。

- 租金耗费比例随群体规模增大而接近50%。

• 奖赏设定和拉水效应影响整体努力水平和竞赛效率。

关键结论及实证预测 [page::6]

• 增强游泳拉水水平提升运动员阶段2努力和获胜概率。

- 群体规模增加有双重效应，既降低个体努力也可能通过拉水效应降低有效成本，导致努力量呈非单调性。

• 参与决策受到拉水效应和赛后群体规模的综合影响，拉水强度高者更易继续竞赛。

全面详尽分析报告：《Two-Stage Asymmetric Tullock Contests with Cost Shifters and Endogenous Continuation Decision》

---

一、元数据与概览

标题： Two-Stage Asymmetric Tullock Contests with Cost Shifters and Endogenous Continuation Decision
作者： Felix Reichel
发布日期： 2025年9月30日
研究主题： 通过竞赛理论模型分析铁人三项比赛，构建一个两阶段的顺序博弈模型，重点研究参与者的继续比赛决策及不同阶段的竞赛策略。
JEL代码： C72（非合作博弈），D74（游戏、信息与非合作竞争），D72（租金寻求），L83（体育经济学）
关键词： 竞赛理论；Tullock竞赛函数；铁人三项；游泳尾随；顺序游戏；非对称成本；子博弈完美均衡（SPE）

核心论点与目标价值：
论文提出针对铁人三项游泳和后续赛段（自行车+跑步）的两阶段竞赛模型。第一阶段为游泳后的继续/退出决策，内生产生参与者集合；第二阶段为多参与者的Tullock竞赛，选手努力成本受游泳尾随（swim drafting）的影响，且为二次方的努力成本函数。作者在二人竞赛中推导出闭式均衡解，在多参与者非对称情形下证明均衡存在唯一，并揭示游泳尾随优势如何通过成本参数影响均衡策略。最终论文取得的结论在策略制定和赛事组织层面具有实际测试价值。

---

二、逐节深度解读

第1章 竞赛框架：参与者、时间点与竞赛对象

• 关键论点与结构介绍：

竞争者为$n\geq 2$名选手，划分为两个阶段：
1. 第一阶段（游泳阶段后），每位运动员观察其游泳时间$ti^S$、游泳排名$ri^S$、游泳尾随占比$Di \in [0,1]$及整体尾随网络$G$。动作集为继续竞赛($C$)，或退出竞赛($T$)。
2. 第二阶段（自行车和跑步），集合$S$为第一阶段选择继续的运动员，大小为$m\le |S|$。每位选手选择非负努力水平$ei$，赢的概率由带权努力的比例决定：
$$
pi(e) = \frac{wi ei}{\sum{j \in S} wj ej}
$$
其中$wi > 0$权重，通常表示相对竞争力。
努力成本为二次函数，标度参数$ki = ci / \psii$，其中$ci>0$是基础成本，$\psii$是游泳尾随调整因子。游泳尾随强度越大，$\psii$越高，间接降低有效成本。

• 收益函数：

- 若选手退出第一阶段，其收益为负的时间和排名惩罚加上个体激励项$\varthetai$。
- 若选手继续第二阶段，其期望效用为胜利的奖金乘概率，减去努力成本，此外还有与努力无关的固定项。

• 策略与均衡定义：

策略为第一阶段继续/退出决策，及第二阶段的努力函数。均衡为子博弈完美均衡，涵盖两个阶段，每阶段策略互相最优且连续科学。

• 逻辑基础与假设：

设定非合作竞赛环境，假设运动员理性决策。关键创新是设计了游泳尾随这一成本调节因素$\psii$，构建了带有参与决策的两阶段动态竞赛结构。

---

第2章 第二阶段分析：存在性、唯一性与闭式解

2.1 最佳反应函数推导

• 运动员$i$优化其期望报酬减努力成本，问题具有标准形式。利用求导发现边际收益与边际成本平衡点，推出式(7)努力的最佳反应涉及竞赛胜率的概率乘积，形成固定点条件：

$$
ei^2 = \frac{\Deltai}{ki} pi (1 - pi),
$$

其中$\Deltai$是奖金差额，$ki$为调整成本。该表达式凸显努力依赖于胜率及成本参数。

2.2 两人竞赛闭式均衡解 (m=2)

• 引入有效优势比率定义：

$$
R = \frac{\Deltai \psii / ci}{\Deltaj \psij / cj} = \frac{\Deltai/ki}{\Deltaj/kj}
$$

• 结合竞赛概率比推导出均衡竞赛概率及努力水平闭式表达：

$$
pi^ = \frac{\rho}{1+\rho},\quad \rho = R^{1/2} \frac{wi}{wj}
$$

$$
ei^ = \sqrt{\frac{\Deltai \psii}{ci}} \frac{\rho^{1/2}}{1+\rho}
$$

• 结论：均衡努力随奖金$\Deltai$和成本因子$\psii$增加，随成本参数$ci$减小。体现了竞赛中成本效益优势的直接影响。

2.3 对称多参与者基准

• 若所有$wi$、$ci$、$\psii$、$\Deltai$相等，均衡概率均为$1/m$，努力随组内人数$m$变化：

$$
e^ = \sqrt{\frac{\Delta \psi}{c}} \sqrt{\frac{m-1}{m^2}}
$$

• 结论：单人努力随群体规模增长而降低，奖金和成本参数对努力提升或抑制的定量影响突出。

2.4 非对称多参与者分析

• 总努力$E = \sum ej$被用作核心变量，通过一元方程确定：

$$
1 = \sum{i \in S} \frac{\Deltai}{ci E^2 / \psii + \Deltai}
$$

• 证明该函数严格递减，从而确保存在唯一正解$E^$。基于此反推个体努力和胜率，均衡明确且唯一。
• 对比静态条件，对比数值处$\Deltai,\psii,ci$变化引导$E^,pi^,ei^$变化完成比较静态分析。

---

第3章 第一阶段分析：继续比赛的阈值和平衡

• 关键构造：

介绍继续比赛的净收益函数：

$$
Vi(S) = Wi(S) - Ui^T
$$

其中$Wi(S)$为第2阶段期望效用，$Ui^T$为退出收益。

• 核心论断：

净收益函数对游泳尾随乘数$\psii$严格递增且连续，基于中间值定理存在唯一阈值$\psii^(S)$使运动员$i$决定是否继续竞赛。

• 均衡参与集合$S^$定义：

$S^$满足：包含选手的净收益非负，不包含的加入集合则净收益非正。

• SPE存在性定理：

提出构造映射$T(S) = \{i: Vi(S) \geq 0\}$，迭代固定点法确保有限步内达到均衡参与集$S^$，得到子博弈完美均衡。

• 比较静态：

- 增加奖金$\Deltai$降低阈值$\psii^(S)$，降低参与门槛。
- 增加基础成本$ci$提高阈值，参与门槛提高。
- 扩大组大小$m$降低胜率，通常提高阈值，减少参与积极性，呈现群体效应。

---

第4章 游泳位置与成本调整映射

• 通过定义尾随比例$Di$，建立成本调节函数：

$$
\psii = \frac{1}{1 - \eta Di}
$$

其中$\eta \in (0,1)$为敏感系数，体现尾随对阻力减小的作用。

• 努力成本函数变为：

$$
ki = ci (1 - \eta Di)
$$

指出尾随增加$Di$线性减少成本$ki$，显著影响个体竞赛策略。

---

第5章 福利与租金分析

• 总效用为所有继续者的期望收益之和：

$$
\sum{i\in S} Ui(e^) = \sum{i\in S} \left[ \frac{\Deltai^2}{ci (E^)^2 / \psii + \Deltai} - \frac{1}{2} \frac{ci}{\psii} (pi^ E^)^2 \right]
$$

• 对称组简化公式，定义租金率（费用占总奖金比例）：

$$
\frac{\sum \frac{1}{2} k (e^)^2}{\sum pi^ \Delta} = \frac{1}{2} \frac{m-1}{m}
$$

该比率随群体规模$m$增长趋近0.5，暗示规模带来的竞争效率损失，产生“租金支付”现象。

---

第6章 结论及预测

• 游泳阶段尾随程度$Di$提升，提高$\psii$，增强胜率和均衡努力。

- 群体规模效应可双向影响专注努力：规模扩大降低单个努力，但若群体规模加强尾随影响$\psi$，可能促进努力增加。

• 继续竞赛的决策受游泳尾随和群体规模共同影响。尾随更强促使运动员更可能继续投入比赛，而增多的参与者则因胜率稀释减少继续倾向。

- 论文为实证检验提供了可操作的测试推断。

---

三、图表与公式深度解读

该报告无传统的表格或图像，但多个核心公式等同于“图表”式的展示，现逐一解析：

• 公式(1):

决定竞赛胜率的权重努力比公式，体现竞赛概率受努力投入和权重调节影响。2阶段竞赛的核心概率函数。

• 公式(3):

努力成本函数带尾随成本调节，确保不同运动员因尾随强度导致成本异质，体现非对称性。

• 公式(7):

各运动员最佳的努力反应条件，此方程连接获胜概率与成本和奖金，核心决定竞赛策略的算法。

• 公式(11):

对称多选手均衡努力闭式解，显示努力依赖奖金、成本及参与者数目，通过中括号呈现参与人数增加对努力的负面影响。

• 公式(12)与(13):

复杂异质竞赛者的努力表达式及总努力的非线性方程，解决多参与异质竞赛所需，体现数学严谨性。

• 公式(14):

期望效用表达，整合胜率、努力成本、成本调节，描述个体的继续竞赛收益。

• 公式(17):

关键成本调节函数$\psii$定义，线性响应游泳尾随占比，数学上简洁但影响大。

• 租金比例表达式（第五章）：

明确租金成本占总奖金份额，展示规模经济的游戏性解释。

---

四、估值方法与分析

• 报告核心基于Tullock竞赛模型，通过两阶段顺序博弈设计算法推导均衡，内部估值基于选手努力的成本与收益权衡。
• 估值输入：

- 奖励差额$\Deltai$
- 基础成本$ci$
- 游泳尾随成本乘数$\psii$
- 竞赛权重$wi$
- 群体规模$m$

• 估值逻辑通过解确定努力$ei^$和胜率$pi^$，进而判断支付成本及获胜概率变化。
• 敏感性分析：

证明了$\Deltai$和$\psii$的增加导致总努力及个人努力提升，成本$ci$增加减少努力，体现模型参数敏感性。

• 组规模扩张影响复杂：

组内参与者多导致单个努力下降，但因群体扩大可能提高尾随效应$\psi$，导致努力的净变动机制可呈非线性，体现竞赛机制复杂性。

---

五、风险因素评估

• 模型假设风险：

- 假定努力成本为二次函数且尾随调节线性，现实中可能存在非线性效应或其他复杂因素未建模。
- 参与者完全理性且信息完备，忽略赛段间潜在信息不对称风险。
- 竞赛权重$wi$及尾随乘子$\psii$的测量依赖于模型可得数据，若数据测量不准，结果或偏离。

• 模型结构风险：

- 均衡存在性虽证明，但非唯一性未排除（第一阶段可能有多重策略集合）。
- 竞赛激励结构可能随着额外现实规则（奖励分配细节、意外退出等）变动。

• 控制策略缺失：

报告未深入探讨可能的风险缓解机制或动态调整策略，如组织者如何调节奖金额度减少激烈竞争带来的成本损失。

---

六、批判性视角与细微差别

• 该模型以简化形式呈现复杂现实赛事，采用游泳尾随作为惟一成本调节因素，可能忽略了体能、环境等其他关键异质因素。

- 模型中线性成本调节假设简洁但实际拖曳效应可能随环境、个人体型等非线性变化，增加复杂度。

• 参与者退出行为假设仅受当前阶段状态影响，未考虑心理因素、预期等潜藏因素，现实中可能有偏差。

- 关于均衡构造中，多重均衡无详细讨论，实际决策可能面临多解困境。

• 作者虽提出继续集合的迭代法，未完全展开该算法在动态或异质条件下的收敛速度和稳定性。

- 模型清晰数学推导保证理论的严谨，但结合具体铁人三项赛实证数据的部分缺失，建议后续补充。

---

七、结论性综合

本报告对铁人三项比赛的两阶段决策和竞赛行为进行了系统的Tullock竞赛理论建模，结合游泳尾随效应的独特成本调节机制，首次引入了选手在第一阶段基于尾随效果的内生退出决策。该模型创新阐明了：

• 参与决策的内生性： 选手在游泳阶段后会基于尾随优势及消耗权衡决定继续与否，产生动态参与集合。

- 成本调节机制核心： 游泳尾随比例通过乘数$\psii$有效降低后续努力成本，进而影响均衡努力和胜率。

• 均衡策略精准推导： 在二人具体场景及多选手非对称情况下均推出明确、闭式均衡解及其唯一性证据。

- 比较静态表现明确： 奖金、尾随强度、组内人数共同作用，影响努力分布和继续参与门槛，揭示规模与异质性双重效应。

• 福利和租金分析： 赛事总效用与成本对比展现规模的逐步僵化效应，竞赛租金随人数增加而提高，暗示组织者需合理设计激励。

- 理论对赛事组织和实证评估均提供指引： 该模型对于理解如何通过游泳阶段的编组和尾随规则调整选手行为、赛事公平及参与积极性有直接启示。

综上，作者提供了一个结构完整、数学严谨的两阶段异质竞赛模型，揭示了游泳尾随如何通过成本效应影响竞赛策略和参与决策的机制。模型虽然基于简化假设，却建立起理论与体育竞赛实践之间的桥梁，具备较高的理论与应用价值，为未来实证分析与竞赛设计指明方向。[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::7][page::8][page::9]

报告