1. 研究背景与方法架构 [page::0][page::1][page::2]

• 量化金融中的路径依赖问题（如亚式期权和障碍期权）依赖整个历史路径，传统神经网络难以有效捕获长程信息。

- 采用截断的对数签名(log-signature)作为路径压缩特征，并配合Neural RDE进行连续时间状态演化，使模型有较强的路径表达和稳定的长程梯度传播能力。

• 设计了基于风险敏感（CVaR倾斜）和物理信息（HJB残差）的多重目标函数，用于优化训练稳定性和尾部风险的准确拟合。

2. 关键算法细节与估计方法 [page::2][page::3]

• 采用局部时间窗口训练减少方差，结合Euler-Maruyama法进行路径模拟。

- 估计马氏积分因子Z和二阶结构Γ时，结合直接解码头和Malliavin权重法以降低方差并提升训练稳定性。

• 计算复杂度主要受维度d、签名深度m及RDE隐藏维度p影响，采用连续伴随方法实现O(N)内存。

3. 主要实验结果与性能表现 [page::4][page::5]

• 在50、100、200维度的路径依赖定价任务中，相比Neural CDE和其他深度BSDE基线，Signature-RDE方法相对定价误差(RPE)降低约6-7%，极端尾部风险CVaR95%降低约5%-25%。

- 在10维组合控制任务中，Signature-RDE结合2BSDE头实现更低的Γ均方根误差和HJB残差，且训练过程更稳定（NaN率降至0.3%）。

• 计算效率方面，Signature-RDE训练时间与Neural CDE相当且明显优于DBDP和DeepSplitting方法。

4. 尾部风险校准与维度尺度效应 [page::5]

• CVaR倾斜训练强化了尾部数据拟合，Signature-RDE在0.90至0.99各分位点均表现最优，优势在高维和更极端分位点愈加明显。

- 方法对维度扩展表现稳健，尾部风险误差增长幅度较小，显示出良好的扩展性。

5. 消融实验及关键参数影响 [page::6]

| 参数 | 取值 | RPE(%) | CVaR0.95(%) | 时间(s/epoch) | NaN(%) |
|------------|---------|---------|------------|---------------|--------|
| 签名深度 m | 2 | 1.84 | 5.45 | 138 | 0.1 |
| 签名深度 m | 3 | 1.62 | 4.74 | 146 | 0.0 |
| 签名深度 m | 4 | 1.58 | 4.60 | 161 | 0.0 |
| RDE宽度 p | 64 | 1.75 | 5.12 | 113 | 0.0 |
| RDE宽度 p | 128 | 1.62 | 4.74 | 146 | 0.0 |
| RDE宽度 p | 192 | 1.59 | 4.64 | 183 | 0.0 |
| 窗口长度 K | 8 | 1.70 | 4.98 | 139 | 0.0 |
| 窗口长度 K | 12 | 1.62 | 4.74 | 146 | 0.0 |
| 窗口长度 K | 16 | 1.60 | 4.66 | 172 | 0.2 |
| Malliavin | off | 1.65 | 4.95 | 146 | 0.5 |
| Malliavin | on | 1.62 | 4.74 | 148 | 0.0 |

• 关键参数如签名深度3-4、RDE宽度128-192、窗口长度12为准确率与效率的实用平衡点。

- Malliavin权重显著提高训练稳定性，降低NaN和尾部误差。

6. 研究结论与未来展望 [page::7]

• 截断log-signature与Neural RDE结合，有效缓解了路径依赖高维BSDE求解中的信息瓶颈及梯度爆炸问题。

- CVaR倾斜和Malliavin辅助估计提升了左尾风险的校准精度。

• 未来可拓展方向包括自适应签名深度、均场控制、鲁棒驱动函数以及理论上CVaR倾斜安全界限证明。

Deep Signature and Neural RDE Methods for Path-Dependent Portfolio Optimization

作者: Ali Atiah Alzahrani (Public Investment Fund, Riyadh, Saudi Arabia)
发布会议: ACM International Conference on AI in Finance (ICAIF ’25)
日期: 2025
主题: 高维路径依赖问题的定量金融求解，基于深度BSDE/2BSDE求解器。核心聚焦路径依赖偏微分方程（PPDEs），及其在金融中的应用，如亚式期权定价、障碍期权以及路径依赖的投资组合控制。

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一、元数据与报告概览

本报告介绍了一种结合截断对数特征（log-signatures）编码与神经粗糙微分方程（Neural RDE）作为骨干的深度BSDE/2BSDE求解框架，以解决高维路径依赖的金融问题，尤其是涉及路径函数的风险敏感控制问题。核心是利用对数特征对路径历史进行分层编码，并用Neural RDE捕捉路径动态演化，从而突破传统神经网络在路径依赖问题中对长序列依赖的参数爆炸和梯度不稳定难题。

主要贡献：

• 结合截断log-signatures与Neural RDE构建路径敏感BSDE架构，保持可控的路径表达力。

- 设计CVaR倾斜（Conditional Value-at-Risk）终端目标，重点提升左尾风险的校准效果。

• 在二阶BSDE (2BSDE)/Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) 问题中，集成二阶信息头以捕获曲率风险信息。

- 实验涵盖高维路径依赖定价及随机波动率条件下的投资组合控制，结果显示提升了精度、尾部拟合和训练稳定性。

文中特别强调“金融 ⇄ AI”的双向交叉：金融中的随机分析理论指导模型设计与损失函数构造，而现代深度序列到路径模型扩展了金融路径依赖问题可解范围和规模，体现当下AI与金融领域深度融合的趋势。[page::0,1]

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二、报告逐章深度解读

1. Introduction

• 关键论点: 路径依赖性（如亚式期权、障碍期权及历史依赖的投资组合控制）导致传统Markovian假设不成立，价值函数依赖整个轨迹$X{\cdot\leq t}$。基于功能Itô微积分和PPDE理论，路径依赖BSDE/2BSDE是刻画这类问题的自然形式，但现有神经求解器难以在高维和长序列下稳定学习。

- 动机与方法: 采用截断log-signature编码降低维度爆炸风险，及Neural RDE实现连续时间隐状态演化，保证训练内存效率及梯度稳定。[page::0,1]

2. Background and Related Work

• 总结了高维BSDE/PDE求解方法演进，从全局End-to-End训练向局部时间训练和算子分裂方法演化。

- 提出了路径依赖性下的PPDE理论和对应的神经网络方法，如PDGM、基于签名的BSDEs和Neural RDE。

• 强调签名函数（signatures）对于路径函数的层级编码能力，及Neural CDE/RDE对时间序列连续建模的优越性。

- 讨论了Malliavin权重在估计$Z$和$\Gamma$时的优势及风险敏感训练目标（CVaR）对尾部风险管理的重要性。[page::1]

3. Method

3.1 Signature-RDE BSDE架构

• 路径编码: 使用时间增强路径$\tilde{X}{[0,t]}=[t; Xt]$，对其施加截断log-signature从而获得表达路径的紧凑向量$st$。

- Neural RDE动态: 神经粗糙微分方程驱动隐藏态$ht$动态演化，输入为控制路径$Ut$，映射为$dht=F\theta(ht)dUt$，其中$F\theta$为待学习的向量场。

• 解码模块: 隐状态经由解码器映射至BSDE对应量——$Yt$（价值过程）、$Zt$（鞅积分因子，包含对协方差矩阵根的耦合）和$\Gammat$（二阶导数矩阵，保持对称）。

- 多步/局部训练: 使用类似DBDP的重叠局部窗口训练以减小方差，缓解长时训练的不稳定性。[page::2]

3.2 离散化与模拟

• 采用Euler–Maruyama模拟轨迹，结合增量log-signature提高效率，隐态按规则积分计算，梯度通过adjoint方法计算保持$O(N)$内存复杂度，适合长序列训练。

3.3 风险敏感与物理约束损失

• 综合三部分损失：终端目标误差$\mathcal{L}{\mathrm{term}}$（含CVaR倾斜），BSDE漂移残差$\mathcal{L}{\mathrm{drift}}$，以及HJB的二阶残差$\mathcal{L}{\mathrm{2nd}}$。

- CVaR倾斜通过放大尾部误差，提升置信区间内的风险拟合效果。

3.4 $Z$和$\Gamma$的估计方法对比

• 直接头部学习（即端到端参数化）vs. Malliavin权重的监督回归约束（低方差估计）。

- 组合这两个目标有助于在全非线性2BSDE问题中降低训练误差和稳定性，特别是$\Gamma$估计的方差控制尤为关键。

3.5 计算复杂度与内存

• 前向传播成本由路径维度$d$、签名维数$D$、隐状态宽度$p$及隐藏层头部大小共同决定，神经RDE的adjoint技巧显著降低了内存要求。

3.6 一致性理论简析

• 在假设足够平滑的函数和无穷深的log-signature截断及网络容量下，模型能一致逼近真实BSDE过程，理论基础借助于签名函数的密度性质与CDE/RDE的表达力。

3.7 实践细节

• 包括时间增强、梯度裁剪、对称矩阵投影、熵惩罚、CVaR倾斜参数预热与开启时机、多步窗口$K$设计等，使整体训练过程既高效又稳定。[page::2-3]

4. Experiments

4.1 主要实验结果

• 在路径依赖定价（T1/T2）任务中，Sig-RDE在相同参数预算下，显著优于Neural CDE, RNN, DBDP等基线，具体体现为相对定价误差(RPE)和$\mathrm{CVaR}{0.95}$尾部风险降低。

- 在投资组合控制（T3）任务中，Sig-RDE + 2BSDE头部实现$\Gamma$均方根误差(RMSE)和HJB残差均低于其他方法，同时效用指标保持竞争力，证明模型带来的风险结构二阶估计稳健性。[page::4-5]

4.2 尾部校准与规模效应

• Sig-RDE在$50d$至$200d$维度，CVaR在多个置信分位数上均处于领先，且随着维度和置信水平的提高，Sig-RDE与其他模型间差距扩大。

- 示例：在$d=200$, $q=0.99$，Sig-RDE为9.8%，相较于DeepSplit (12.0%)和DBDP (13.1%)分别提升约18.3%和25.2%。

• 说明持续的连续时间态演化及路径压缩有效抑制了长时累积误差。[page::5]

4.3 Ablation分析

• 关键超参：截断深度$m=3$至$m=4$是精度与效率的折中，升至$m=4$收益递减。

- 细节：宽度$p=128$为较佳选择，增加窗口长度$K$从8至12带来结点改善，过长或过短窗口降低稳定性。

• Malliavin估计有效降低$Z,\Gamma$估计方差，系统避免NaN崩溃。

- 无签名模型尾部表现明显退化，突出路径特征压缩重要性。[page::5-6]

4.4 鲁棒性与压力测试

• 模型对时间步长变换、波动率波动(vol-of-vol)及参数外推均保持平稳表现。

- Malliavin目标和适中窗口长度防止训练爆炸，证明了模型训练及推理的健壮性。[page::6]

5. Experimental Details and Reproducibility

• 试验在NVIDIA A100 GPU上进行，固定种子，保持与主流Baselines统一仿真、参数预算、时间网格和训练细节，确保对比公平性。

- 任务涵盖不同维度、多种路径依赖形式，模型编码器与解码器均采用多层感知机，训练采用Adam/W和余弦衰减。

• Malliavin目标采用对称采样与路径权重技术，针对$Z,\Gamma$提供低方差估计器。[page::6]

6. Discussion and Limitations

成果解读

• 通过多任务实验证明截断log-signature联合Neural RDE架构有效提高路径表达力及长期训练稳定性。

- 二阶BSDE头部和Malliavin权重降低高阶风险指标方差，促进更佳尾部风险拟合。

• CVaR倾斜损失提升左尾风险的拟合质量无显著平均收益折中。

使用建议

• 轻微路径依赖任务可考虑无签名架构以减少成本。

- 离散RNN适合短序列低维场景，但长序列、高维受限于梯度爆炸。

• 签名深度$q>4$适合强路径极值依赖场景。

局限性

• 截断深度导致模型在极其不规则路径的偏差。

- 现有积分器多为低阶，遇到刚性问题训练效率受限。

• 边界处理（如吸收边界）未被系统纳入模型，需未来研究。

- 模型假设真实动力学已知，鲁棒训练尚未展开。

• CVaR倾斜及PPDE类问题的有限样本误差边界理论尚缺乏完整证明。

AI与金融“二向桥梁”

• 以功能Itô理论和Malliavin微积分为基础提供结构性表示和方差缩减方法，增强模型的解释性与稳定性。

- 深度神经序列模型则推动高维路径依赖PPDE/BSDE求解技术的新边界，实现可控内存和计算量的规模化训练。[page::7]

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三、图表深度解读

图1：Sig–RDE架构图 [page::0]

• 描述: 流程图展示了路径历史$\tilde{X}{[0,t]}$的时间增强路径经过截断log-signature编码$LogSig^{(m)}$后，传递给Neural RDE模块产生隐藏态演化$ht$，最终通过解码器生成BSDE分量$(Y,Z,\Gamma)$。

- 解读: log-signature有效压缩路径历史提供多级特征，Neural RDE模块的连续时间建模赋予模型对长序列的微妙捕捉以及稳定梯度感应能力。

• 与文本呼应: 图中展示了损失组成（终端CVaR倾斜+BSDE残差+HJB物理约束）和Malliavin稳定机制，为训练提供监督信号和对高阶导数的低方差估计，确保模型针对路径依赖问题的收敛和稳定训练。[page::0]

图2：规模与精度关系 (T1任务，不同维度下RPE对比) [page::4]

• 描述: 以不同模型在不同维度$d$下的相对定价误差（RPE \%）作比较，横轴为维度，纵轴为RPE，Inset为时间/epoch。

- 趋势解读: Sig-RDE曲线始终位居最低，且维度增大时与其他基线的误差差距扩大，显示模型优于传统方法在规模化路径依赖问题上的泛化和稳定性。

• 联系文本: 佐证了Sig-RDE在50、100、200维路径依赖定价中的领先优势，兼具更优的计算时间性能。[page::4]

图3：尾部校准曲线（CVaR-q在$100d$） [page::5]

• 描述: 以不同模型对终端误差的CVaR在不同置信水平$q\in[0.90,0.99]$的评估，纵轴表示CVaR误差百分比。

- 趋势解读: Sig-RDE在所有分位点均保持最低，且误差随置信水平提升的增幅最小，表明其在极端风险控制上的更好表现。

• 联系文本: 体现了CVaR倾斜损失与log-signature + Neural RDE架构提升左尾风险认知的有效性。[page::5]

图4：超参数消融 (T1, $d=100$) [page::6]

• 描述: 横轴依次为各个消融设计（签名深度$m$，RDE宽度$p$，窗口长度$K$，Malliavin是否开启），左纵轴为RPE(%)，右纵轴为训练时间(s/epoch)。

- 解读: $m$从2到3带来显著性能提升，而继续增加边际效应递减。宽度由64增加至128改善明显，后续增益较小。窗口长度$K$中等最好。Malliavin权重有效消除训练不稳定。

• 关联实验: 说明模型性能与计算成本的折中，提示实践中配合合理超参至关重要。[page::6]

图5：性能对比与训练稳定性 (T1/T3) [page::6]

• 描述: 各模型训练时间/epoch与相应RPE的散点，点的大小对应训练期间NaN/溢出率，维度大小作为标签。

- 分析: Sig-RDE在时间与精度均具有优势且维护最低NaN率；离散RNN下溢出上升明显；其它连续模型表现和参数预算挂钩。

• 支持论点: 连续时间模型利于训练稳定性，尤其在高维、路径依赖任务中优势凸显。[page::6]

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四、估值分析

报告未直接包含传统标价估值模型，但以BSDE/2BSDE求解金融PPDE问题为核心，隐含以下估值视角：

• BSDE/2BSDE框架：通过解决基于Itô过程的随机微分方程，估算路径依赖衍生品或投资组合的价值函数$Yt$，并间接计算其免疫风险“希腊字母”$Zt$（对一阶随机扰动敏感）及$\Gammat$（对二阶变化敏感）。

- 神经RDE架构(连续时间)的优化与估计：结合截断log-signature与连续向量场拟合，提升路径维数/时间序列控制的表达力，最终输出稳定的估值过程。

• CVaR倾斜损失作为风险度量引导模型关注尾部极端亏损的风险估计，契合实际金融风险管理需求。

- Malliavin权重的引入：作为低方差的监督信号，提升$Z$和$\Gamma$估计的精度和训练稳定性，尤其在非线性2阶控制问题中价值显著。

因此，估值主要通过深度BSDE求解器间接完成，结合风险度量和二阶控制，创新点在于表达力和训练稳定性，而非传统单点估计方法。[page::2-3,7]

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五、风险因素评估

文中识别并讨论主要风险与限制点：

1. 截断偏差风险

- Log-signature截断深度有限，对极其复杂或不规则路径存在近似误差。
- 建议未来尝试自适应深度或学习截断参数。

1. 数值积分器刚性与准确性问题

- 当前采用较低阶求解器（Euler-Maruyama和固定阶积分）可能导致刚性残差无法精准捕获。
- 进一步引入自适应或隐式积分器提升精度存在潜在成本增加。

1. 边界与约束处理不足

- 例如障碍期权的吸收/反射边界会导致梯度信号稀释，影响训练效果。
- 需要结合罚函数、边界局部时间等方法。

1. 模型风险与拟合误差

- 驱动过程$dXt$的漂移和波动率模型可能与真实市场不符，导致误差传递至BSDE输出。
- 需加强鲁棒训练或分布移位检测方法。

1. 理论体系尚待完善

- 尽管给出一致性论证，涉及CVaR风险倾斜的PPDE/2BSDE有限样本误差界限尚未严格建立。

这些风险潜在影响模型泛化能力和实际应用中的稳健性，报告提出了谨慎控制和未来研究的方向。[page::7]

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六、批判性视角与细微差别

• 报告自觉处置了路径依赖随机控制问题的固有困难，提出一整套架构和训练机制，整体设计严谨且与理论基础紧密相连。

- 但对积分器刚性和边界条件的处理较为初步，反映现实应用中不可避免的数值陷阱，后续工作需重点关注。

• CVaR倾斜参数区间选择经验性明显，过窄/过宽均可能过拟合或欠拟合尾部风险，说明调优仍需基于具体场景反复试验。

- 训练稳定性依赖Malliavin权重回归监督，潜在存在计算复杂性和对路径模拟精度的依赖。

• 与传统基于马尔可夫假设的深度BSDE方法相比，架构对路径依赖性的处理更为精细，但存在计算资源需求较高的隐忧，尤其在超高维度情况下。

- 报告中局部训练窗口$K$的选择体现了训练的偏差-方差权衡，简述了稳定与训练效率的取舍，体现模型设计的实用智慧。

整体上，作者对现有方法的局限有清醒认识，并通过细致消融验证给予了较为严密的设计依据。[page::3-7]

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七、结论性综合

本报告提出了一种针对高维路径依赖金融问题的深度BSDE求解框架——Signature–RDE，其核心理念在于：

• 以截断log-signatures对路径历史进行高效且有层次的编码，控制维度爆炸；

- 利用Neural Rough Differential Equations实现连续时间隐状态动态演化，保证长序列训练梯度的稳定和内存高效；

• 引入CVaR倾斜终端目标，聚焦尾部风险表现，改善金融风险管理中的左尾拟合；

- 对于强非线性控制问题，集成二阶BSDE(HJB)头部及Malliavin权重估计，有效提升了高阶风险敏感量的估计稳健性；

• 实验覆盖亚式路径依赖定价、障碍期权及随机波动率投资组合控制等多任务，多维度验证了模型在精度和效率上的领先，且随着维度及置信水平升高优势更为显著。

具体到图表：

• 图1直观呈现模型架构及训练目标构造逻辑；

- 图2针对不同维度展示了Sig-RDE稳定优异的相对定价误差表现，并在计算时间上保持竞争力；

• 图3揭示尾部风险校准能力明显领先，正体现CVaR倾斜训练设计的有效实施；

- 图4消融测试明确指出签名深度、RDE宽度及Malliavin权重等超参的价值与权衡点；

• 图5综合对比显示训练稳定性高，NaN溢出情况最少，符合长序列训练稳定性理论预期。

综上，作者明确提出，Signature–RDE为解决高维路径依赖金融BSDE问题提供了一条理论严谨且实证有效的解决方案，并为未来在更复杂边界条件、鲁棒控制及理论误差界限等方面指明了方向。评级上，报告以多个指标和任务证明其优越性，对路径依赖的BSDE/2BSDE问题给出了推荐且前瞻性的设计范式。[page::0-7]

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总结

本文为路径依赖金融优化问题提供了一个技术前沿的深度求解器——Signature + Neural RDE架构，结合了现代随机分析和深度序列学习技术，在拓展可处理问题维度的同时，提升了尾部风险拟合精度和训练稳定性。该研究不仅丰富了金融数学的算法工具库，也为金融AI模型的理论与实务创新指明了方向，具备显著的理论价值和工程实践意义。

报告